東北大学 2000年度後期・理系数学後期第3問解答・解説

問題

次の式を満たす数列 ${a_{n}}$ を考える．

a_{1} = 1, a_{n + 1} = {1 + 3 (1 - \frac{a _{n + 1}}{2})} a_{n} (n = 1, 2, \dots\dots)

(1) $b_{n} = \frac{a _{n}}{2 - a _{n}}$ とおくとき， $b_{n + 1}$ と $b_{n}$ との関係式を求めよ．

(2) $b_{n}$ および $a_{n}$ を求めよ．

(3) 極限値 $n \to \infty lim a_{n}$ を求めよ．

出典：東北大学 2000年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第3問

方針

漸化式の右辺にも $a_{n + 1}$ が含まれているので、まず $a_{n + 1}$ について解く。その後、指定された $b_{n} = a_{n} / (2 - a_{n})$ に代入すると、分母の形がそろって等比数列になる。 $b_{n}$ を求めたら、 $a_{n} = 2 b_{n} / (1 + b_{n})$ に戻し、 $b_{n} \to \infty$ から極限を出す。

解答

(1)

与えられた漸化式は

a_{n + 1} = {1 + 3 (1 - \frac{a _{n + 1}}{2})} a_{n}

である。右辺を展開して $a_{n + 1}$ を左辺へ集めると $a_{n + 1} = (1 + 3) a_{n} - \frac{3}{2} a_{n} a_{n + 1}$ だから $a_{n + 1} (1 + \frac{3}{2} a_{n}) = (1 + 3) a_{n}$ である。よって

a_{n + 1} = \frac{( 1 + 3 ) a _{n}}{1 + \frac{3}{2} a _{n}} = \frac{2 ( 1 + 3 ) a _{n}}{2 + 6 a _{n}}

である。

ここで $b_{n} = \frac{a _{n}}{2 - a _{n}}$ とおく。すると

2 - a_{n + 1} = 2 - \frac{2 ( 1 + 3 ) a _{n}}{2 + 6 a _{n}} = \frac{2 2 + 2 3 a _{n} - 2 a _{n} - 2 3 a _{n}}{2 + 6 a _{n}} = \frac{2 ( 2 - a _{n} )}{2 + 6 a _{n}}

である。したがって

b_{n + 1} = \frac{a _{n + 1}}{2 - a _{n + 1}} = \frac{\frac{2 ( 1 + 3 ) a _{n}}{2 + 6 a _{n}}}{\frac{2 ( 2 - a _{n} )}{2 + 6 a _{n}}} = (1 + 3) \frac{a _{n}}{2 - a _{n}}

である。よって $b_{n + 1} = (1 + 3) b_{n}$ である。

(2)

$b_{1} = \frac{a _{1}}{2 - a _{1}} = \frac{1}{2 - 1} = 1 + 2$ である。(1)より $b_{n}$ は公比 $1 + 3$ の等比数列だから $b_{n} = (1 + 2) (1 + 3)^{n - 1}$ である。

また $b_{n} = a_{n} / (2 - a_{n})$ から $b_{n} (2 - a_{n}) = a_{n}$ すなわち $a_{n} = \frac{2 b _{n}}{1 + b _{n}}$ である。したがって

a_{n} = \frac{2 ( 1 + 2 ) ( 1 + 3 ) ^{n - 1}}{1 + ( 1 + 2 ) ( 1 + 3 ) ^{n - 1}}

である。

(3)

$1 + 3 > 1$ なので $b_{n} = (1 + 2) (1 + 3)^{n - 1} \to \infty$ である。したがって $a_{n} = \frac{2 b _{n}}{1 + b _{n}} \to 2$ であり、求める極限値は $2$ である。

東北大学 2000年度後期・理系数学 後期 第3問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

東北大学 2000年度
後期・理系数学後期第3問