問題
，，は正の定数とする．平面上で，点，をそれぞれ軸，軸上にとりとする．線分を側へ延長してとなる点をとり，また，線分を側へ延長してとなる点をとる．次の問いに答えよ．
(1) 点，がそれぞれ軸上，軸上を動くとき，点が描く曲線を，点が描く曲線をとする．曲線，の方程式を，，を用いて表せ．
(2) ，，のときに曲線に囲まれる領域と，曲線に囲まれる領域の重なり合う部分の面積を求めよ．
出典：東北大学 2000年度 後期日程 第2次学力試験 後期・理系 後期 第5問
方針
なので、 と の位置を 、 とおく。線分 の延長方向を使って の座標を表せば、、 を消去して2つの楕円が得られる。指定値では2つの楕円が対称になり、共通部分は4象限で同じなので、第1象限で上側境界が切り替わる交点 を境に積分する。
解答
(1)
を 軸上、 を 軸上に取り とする。向きを表すために とおく。 である。 は を 側へ延長し、 となる点なので である。したがって とおけば であり、 である。
同様に、 は を 側へ延長し、 となる点なので である。したがって である。
(2)
、 のとき である。したがって
である。
2つの楕円は 軸、 軸および直線 に関して対称である。第1象限の交点を求めると、2式を引いて
より で、第1象限では である。これを に代入して だから であり、交点は である。
第1象限で、 では の上側が低く、 では の上側が低い。よって共通部分の面積は
である。
第1の積分では とおく。 から までで は から まで動くので
である。第2の積分では とおくと、 は から まで動くので
である。
したがって第1象限の面積は であり、全体の面積はその4倍だから である。