問題
(1) でない平面ベクトル，，が，
を満たすとき，3つのベクトルの互いになす角をそれぞれ求めよ．
(2) ，を任意の平面ベクトルとするとき，
であることを示せ．
ここで，はとの内積を表す．
(3) すべての内角が未満の三角形の内部の点から各頂点までの距離の和
が最小となるようなを求めよ．
出典：東北大学 2000年度 後期日程 第2次学力試験 後期・理系 後期 第2問
方針
(1)は3つの単位ベクトルの和が であることから、任意の2つの和が残り1つの反対向きになることを利用して内積を出す。(2)は 方向の単位ベクトルへの射影がベクトルの長さを超えないという事実を式にする。(3)は各頂点へ向かう3方向が互いに となる点を取り、(2)を3本のベクトルに加えて距離和の下界を作る。
解答
(1)
とおく。これらはいずれも単位ベクトルであり、仮定より である。したがって である。両辺の長さの2乗を取ると である。一方、左辺は
だから すなわち である。よって と のなす角は である。同様に他の2組についてもなす角はすべて である。
(2)
とおくと、 は単位ベクトルである。任意のベクトル について、内積の定義から
である。ここで は と のなす角である。 とすれば
である。右辺は
なので、示すべき不等式が成り立つ。
(3)
三角形 のすべての内角が 未満であるとき、内部に を満たす点 がただ1つ存在する。この点を取る。
任意の点 に対して、 とおく。(2)を
にそれぞれ適用すると
である。同様の不等式を についても書いて加えると
である。
点 では3本の方向が互いに をなすので、(1)より括弧内の単位ベクトルの和は である。したがって
である。よって距離の和を最小にする点は、三角形の内部で を満たす点である。