問題
長方形内を減速しながら進む点を考える，時刻に初速で発射させた点は，時刻では速さで直進するとする．ただし，がいずれかの辺に来たときは等しい入射角と反射角で反射するとし，頂点，，，のいずれかに来たときはそこで停止するとする．の長さは4での長さは2とし，出発点はの中点とする．初速をとしたとき，最も長い時間をかけてをどれかの頂点に到達させるにはどの方向に発射させればよいか．との角を としてを求めよ．またそのとき，が頂点に到達する時刻を求めよ．
% 図は省略
方針
反射を含む長方形内の運動は、長方形を鏡映して平面に敷き詰めることで直線運動に変換する。出発点 を原点、 方向を横方向、 方向を縦方向とすると、頂点の像は 型に並ぶ。速さ で進むので、時刻 までの移動距離は であり、到達可能な頂点像の距離は14未満でなければならない。14未満で最も長い距離の頂点像を探し、その方向と時刻を求める。
解答
長方形での反射を、長方形を鏡のように反転して敷き詰めることにより、展開平面上の直線運動として考える。
出発点 を原点にとり、 の向きを横軸、 の向きを縦軸にとる。 で は の中点だから、横方向に見ると頂点は から奇数だけ離れた位置に現れる。また なので、縦方向には4の倍数だけ離れた位置に頂点の像が現れる。したがって、第1象限にある頂点の像は の形である。
時刻 までに進む距離は である。この値は常に14より小さいので、到達できる頂点像までの距離は14未満でなければならない。距離は である。
14未満でできるだけ大きい距離を調べる。 より だけを考えればよい。各 で許される最大の奇数 を見ると
である。対応する距離の2乗は である。したがって14未満で最も長い距離を与える頂点像は であり、その距離は である。
よって、発射方向について である。また、到達時刻 は を満たす。したがって であり、 である。
以上より
である。