東北大学 1999年度理系数学前期第5問解答・解説

問題

正 $n$ 角形 $P_{n}$ を次のようにして定義する．

(i) $P_{3}$ は面積が1の正三角形である．

(ii) $P_{n}$ と同じ面積をもつ円を $D_{n}$ とする． $P_{n + 1}$ は $D_{n}$ と周の長さが等しい正 $n + 1$ 角形である．

$n = 3, 4, 5, \dots$ について $P_{n}$ の面積を $a_{n}$ としたとき次の各問いに答えよ．

(1) $n ≧ 4$ について $\frac{a _{n - 1}}{n}$ を $n$ を用いて表せ．

(2) 極限 $n \to \infty lim n^{2} (\frac{a _{n - 1}}{a _{n}} - \frac{n}{π} sin \frac{π}{n})$ を求めよ．

出典：東北大学 1999年度前期日程第2次学力試験理系前期第5問

方針

正 $n$ 角形の面積を周の長さ $L$ で表す公式 $L^{2} / (4 n tan (π / n))$ を用いる。 $P_{n}$ は、 $P_{n - 1}$ と同じ面積をもつ円の周長と等しい周をもつ正 $n$ 角形なので、 $a_{n}$ と $a_{n - 1}$ の比が求まる。なお、設問(2)で必要になる量は $a_{n - 1} / a_{n}$ であり、(1)もこの比を求める誘導として扱う。極限は $x = π / n$ とおき、 $tan x - sin x = sin x (1 - cos x) / cos x$ に分解して基本極限で求める。

解答

(1)

周の長さが $L$ の正 $n$ 角形を考える。中心から各辺へ下ろした垂線の長さは $\frac{L}{2 n t a n ( π / n )}$ であり、1辺の長さは $L / n$ である。したがって面積は $\frac{1}{2} \cdot L \cdot \frac{L}{2 n t a n ( π / n )} = \frac{L ^{2}}{4 n t a n ( π / n )}$ である。 $P_{n - 1}$ の面積は $a_{n - 1}$ であるから、これと同じ面積をもつ円の半径を $r$ とすると $π r^{2} = a_{n - 1}$ であり、その円の周の長さは $2 π r = 2 π a_{n - 1}$ である。 $P_{n}$ はこの周の長さをもつ正 $n$ 角形なので

a_{n} = \frac{( 2 π a _{n - 1} ) ^{2}}{4 n tan ( π / n )} = \frac{π a _{n - 1}}{n tan ( π / n )} .

したがって $\frac{a _{n - 1}}{a _{n}} = \frac{n}{π} tan \frac{π}{n}$ である。

問題文の(1)の比を字面どおり $a_{n - 1} / n$ と読むと(2)で用いる比とつながらないため、ここでは(2)と整合する誘導として $a_{n - 1} / a_{n}$ を求めた。

(2)

(1)より $\frac{a _{n - 1}}{a _{n}} = \frac{n}{π} tan \frac{π}{n}$ である。したがって

n^{2} (\frac{a _{n - 1}}{a _{n}} - \frac{n}{π} sin \frac{π}{n}) = n^{2} \cdot \frac{n}{π} (tan \frac{π}{n} - sin \frac{π}{n}) = \frac{n ^{3}}{π} (tan \frac{π}{n} - sin \frac{π}{n}) .

ここで $x = \frac{π}{n}$ とおくと、 $n \to \infty$ のとき $x \to 0$ であり、 $n = π / x$ だから $\frac{n ^{3}}{π} (tan x - sin x) = π^{2} \frac{t a n x - s i n x}{x ^{3}}$ である。

さらに

tan x - sin x = \frac{sin x}{cos x} - sin x = \frac{sin x ( 1 - cos x )}{cos x}

であるから

\frac{tan x - sin x}{x ^{3}} = \frac{sin x}{x} \cdot \frac{1 - cos x}{x ^{2}} \cdot \frac{1}{cos x}

である。基本極限

\frac{sin x}{x} \to 1, \frac{1 - cos x}{x ^{2}} \to \frac{1}{2}, cos x \to 1

より $\frac{t a n x - s i n x}{x ^{3}} \to \frac{1}{2}$ である。したがって求める極限は $\frac{π ^{2}}{2}$ である。

東北大学 1999年度理系数学 前期 第5問

問題

方針

解答

(1)

(2)

東北大学 1999年度
理系数学前期第5問