問題
曲線の点での接線をとする．上の点で座標がとのものをそれぞれおよびとする．がの範囲を動くとき線分の動く範囲の面積を求めよ．
出典：東北大学 1999年度 前期日程 第2次学力試験 理系 前期 第3問
方針
接線の方程式をまず求め、線分上の点を接点の 座標 と、接点からの横方向のずれ で表す。すると 、、 であり、 という形になる。固定した に対して可能な の範囲を調べ、上下の の差を で積分する。端の区間と中央の区間で の範囲が変わる点に注意する。
解答
曲線 の点 における接線は すなわち である。
この接線上で、接点から 方向に だけずれた点を考える。問題の線分 では であり、その点の 座標は である。したがって であり、 より が必要である。
この点の 座標は
である。よって求める領域は で表される。
固定した に対して、 の範囲は である。この範囲が空でないためには である。 では である。この範囲では は0以下なので、 は で最大、 で最小となる。したがって上下の差は である。 では、 の範囲が0を含み、端点のうち絶対値1も含むので、上下の差は である。 では であり、同様に上下の差は である。
よって求める面積は