問題
空間の点を中心とする半径9の球面をとし，点を中心とする半径8の球面をとする．とに接し原点を通る直線の長さ1の方向ベクトル をすべて求めよ．
出典：東北大学 1999年度 前期日程 第2次学力試験 理系 前期 第2問
方針
原点を通る直線を、長さ1の方向ベクトル を用いて と表す。球面に接する条件は、球の中心からこの直線までの距離が半径に等しいことである。中心 、 から直線への距離を、直角三角形または射影で求めると、それぞれ 、 が決まる。最後に単位ベクトル条件 と を使って を決める。
解答
原点を通る直線を と表す。ただし である。
まず球面 について考える。中心 から直線への距離を求める。方向ベクトルが単位ベクトルなので、中心ベクトル の直線方向への射影の長さは である。したがって、中心から直線までの距離の2乗は である。直線が半径9の球面 に接するためには、この距離が9に等しいから であり、 を得る。
同様に、球面 の中心 から直線方向への射影の長さは である。したがって中心から直線までの距離の2乗は である。半径が8なので より である。
以上と単位ベクトル条件から
よって より である。 と の符号は距離条件では決まらず、互いに独立に選べる。したがって求める方向ベクトルは
である。ただし、2つの符号は独立に選ぶ。
別解。原点から球面に引いた接線を考えると、中心までの距離を 、球の半径を とすると、中心方向と接線方向のなす角 は を満たす。 では だから、接線方向の 成分の絶対値は となる。同様に では であり、同じ結論を得る。