東北大学 1999年度理系数学前期第1問解答・解説

問題

$x > 0$ において関数 $f (x)$ を

f (x) = \frac{x ^{2} + 1}{2} lo g \frac{x ^{2} + 1}{2} + \frac{1}{2} (x - 1)^{2} - x^{2} lo g x

で定める．対数は自然対数である．

(1) 導関数 $f^{'} (x)$ が単調増加であることを示せ．

(2) $f (x) ≧ 0$ であることを示し， $f (x) = 0$ となる $x$ を求めよ．

(3) 正の実数 $p$ ， $q$ について不等式

\frac{p ^{2} + q ^{2}}{2} lo g \frac{p ^{2} + q ^{2}}{2} ≧ - \frac{1}{2} (p - q)^{2} + \frac{p ^{2} lo g p ^{2} + q ^{2} lo g q ^{2}}{2}

が成立することを示せ．

出典：東北大学 1999年度前期日程第2次学力試験理系前期第1問

方針

(1)は微分計算を正確に行い、 $f^{''} (x) ≧ 0$ を示して $f^{'} (x)$ の単調増加を得る。 $f^{''} (x)$ はそのままでは符号が見にくいので、 $u = (x^{2} + 1) / (2 x^{2})$ とおき、 $lo g u - 1 + 1/ u ≧ 0$ を使う。(2)は $f (1) = f^{'} (1) = 0$ と(1)から最小値を判断する。(3)は(2)を $x = p / q$ に適用し、両辺に $q^{2}$ を掛けて対数を整理する。

解答

(1)

まず微分する。

f^{'} (x) = x lo g \frac{x ^{2} + 1}{2} + x + (x - 1) - 2 x lo g x - x = x lo g \frac{x ^{2} + 1}{2 x ^{2}} + x - 1.

さらに微分すると

f^{''} (x) = lo g \frac{x ^{2} + 1}{2 x ^{2}} + x (\frac{2 x}{x ^{2} + 1} - \frac{2}{x}) + 1 = lo g \frac{x ^{2} + 1}{2 x ^{2}} + \frac{x ^{2} - 1}{x ^{2} + 1} .

ここで $u = \frac{x ^{2} + 1}{2 x ^{2}} > 0$ とおくと $\frac{1}{u} = \frac{2 x ^{2}}{x ^{2} + 1}$ であるから $- 1 + \frac{1}{u} = \frac{x ^{2} - 1}{x ^{2} + 1}$ である。したがって $f^{''} (x) = lo g u - 1 + \frac{1}{u}$ となる。

関数 $g (u) = lo g u - 1 + \frac{1}{u} (u > 0)$ を考えると $g^{'} (u) = \frac{1}{u} - \frac{1}{u ^{2}} = \frac{u - 1}{u ^{2}}$ である。よって $g (u)$ は $0 < u < 1$ で減少し、 $u > 1$ で増加する。さらに $g (1) = 0$ だから、すべての $u > 0$ で $g (u) ≧ 0$ である。したがって $f^{''} (x) ≧ 0 (x > 0)$ であり、 $f^{'} (x)$ は単調増加である。

(2)

直接代入すると $f (1) = 0$ であり、また $f^{'} (1) = 1 \cdot lo g 1 + 1 - 1 = 0$ である。(1)より $f^{'} (x)$ は単調増加であるから $0 < x < 1 では f^{'} (x) ≦ 0,$ $x > 1 では f^{'} (x) ≧ 0$ である。したがって $f (x)$ は $x = 1$ で最小値をとり、その最小値は0である。よって $f (x) ≧ 0$ であり、等号成立は $x = 1$ のときである。

(3)

正の実数 $p, q$ に対して、(2)を $x = \frac{p}{q}$ に適用する。すると

\frac{( p / q ) ^{2} + 1}{2} lo g \frac{( p / q ) ^{2} + 1}{2} + \frac{1}{2} (\frac{p}{q} - 1)^{2} - (\frac{p}{q})^{2} lo g \frac{p}{q} ≧ 0

である。両辺に $q^{2}$ を掛けると

\frac{p ^{2} + q ^{2}}{2} lo g \frac{p ^{2} + q ^{2}}{2 q ^{2}} + \frac{1}{2} (p - q)^{2} - p^{2} lo g \frac{p}{q} ≧ 0

となる。

ここで $lo g \frac{p ^{2} + q ^{2}}{2 q ^{2}} = lo g \frac{p ^{2} + q ^{2}}{2} - lo g q^{2}$ かつ $p^{2} lo g \frac{p}{q} = \frac{p ^{2}}{2} lo g p^{2} - \frac{p ^{2}}{2} lo g q^{2}$ である。これらを代入して整理すると、 $lo g q^{2}$ の係数は $- \frac{p ^{2} + q ^{2}}{2} + \frac{p ^{2}}{2} = - \frac{q ^{2}}{2}$ となるので

\frac{p ^{2} + q ^{2}}{2} lo g \frac{p ^{2} + q ^{2}}{2} + \frac{1}{2} (p - q)^{2} - \frac{p ^{2}}{2} lo g p^{2} - \frac{q ^{2}}{2} lo g q^{2} ≧ 0

である。移項して

\frac{p ^{2} + q ^{2}}{2} lo g \frac{p ^{2} + q ^{2}}{2} ≧ - \frac{1}{2} (p - q)^{2} + \frac{p ^{2} lo g p ^{2} + q ^{2} lo g q ^{2}}{2}

を得る。これが示すべき不等式である。

東北大学 1999年度理系数学 前期 第1問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

東北大学 1999年度
理系数学前期第1問