東北大学 1999年度
理系数学 前期 第4問

解答

10文字のうち、$O$ は3個、$A$ は2個あり、その他の5文字はすべて異なる。したがって全体の場合の数は $\frac{10!}{3!2!}=302400$ である。

(1)

まず $O$ 以外の7文字 $T,H,K,U,A,B,A$ を並べる。$A$ が2個あるので、その並べ方は $\frac{7!}{2!}$ 通りである。

この7文字を並べたあと、文字の前後と間には合計8か所のすき間がある。どの2つの $O$ も隣り合わないためには、この8か所から3か所を選び、それぞれに $O$ を1つずつ入れればよい。よって条件を満たす並べ方は $\frac{7!}{2!}{}_8{\mathrm{C}}_3$ 通りである。したがって求める確率は

である。

(2)

同じ文字が隣り合う可能性があるのは、3個ある $O$ と2個ある $A$ だけである。そこで余事象、すなわち「どの2つの $O$ も隣り合わず、かつ2つの $A$ も隣り合わない」並べ方を数える。

(1)より、どの2つの $O$ も隣り合わない並べ方は $\frac{7!}{2!}{}_8{\mathrm{C}}_3=141120$ 通りである。この中から、$A$ が隣り合っているものを除く。 $AA$ を1つのかたまりと見なすと、$O$ 以外の文字は $AA,T,H,K,U,B$ の6個になる。これらの並べ方は $6!$ 通りであり、その前後と間の7つのすき間から3つを選んで $O$ を入れれば、$O$ は隣り合わない。したがって、$O$ は隣り合わないが $A$ が隣り合う並べ方は $6!{}_7{\mathrm{C}}_3=25200$ 通りである。

よって余事象の場合の数は $141120-25200=115920$ である。したがって求める確率は $1-\frac{115920}{302400}=\boxed{\frac{37}{60}}$ である。

別解。(2)は「少なくとも一組の同じ文字が隣り合う」を直接数えようとすると、$OO$ と $AA$ の重なりを処理する必要がある。余事象を使えば、(1)の数え方をそのまま再利用できるため、計算量を抑えられる。