問題
(1) 点と円 との距離とは，と上の点との距離の最小値をいう．がの外部にある場合と内部にある場合に分けて，を表す式を求めよ．
(2) 2つの円とから等距離にある点の軌跡の方程式を求めよ．
出典：東北大学 1998年度 前期日程 第2次学力試験 理系 前期 第6問
方針
(1)は点から円までの最短距離を、中心から点までの距離と半径の差の絶対値として表す。(2)では2つの円の中心を焦点とみなし、距離を とおいて を解く。絶対値を外すと、和一定の楕円と差一定の双曲線に分かれるので、焦点間距離から標準形を出し、双曲線はどちらの枝かまで決める。
解答
(1)
円の中心を とし、点 と中心との距離を とおく。点 が円の外部にあるとき、円周までの最短距離は中心方向に進んだときに得られるので である。点 が円の内部にあるときは、円周まで出る距離が である。したがって、一般に と表せる。
(2)
2つの円の中心を , とし、点 からそれぞれの中心までの距離を とおく。(1)より、2つの円からの距離が等しい条件は である。絶対値を外すと または であるから、 となる。 は、焦点 をもつ楕円である。長半径は 、焦点距離は なので、短半径の2乗は である。よって を得る。 は、同じ焦点をもつ双曲線である。距離の差が なので 、すなわち であり、焦点距離 から である。したがって標準形は である。さらに だから、点は右側の焦点 に近い枝にあり、 である。
以上より、求める軌跡は および である。