東北大学 1998年度
理系数学 前期 第5問

解答

$x<1$ では $F_{-}(x)=x^2-ax+a+b$ を、$x\geqq 1$ では $F_{+}(x)=x^2+ax+b-a$ を調べればよい。どちらも $x=1$ での値は $F_{-}(1)=F_{+}(1)=1+b$ である。ただし左側は $x<1$ なので $x=1$ を含まず、右側は $x\geqq 1$ なので $x=1$ を含む。

左側の放物線 $F_{-}$ の頂点は $x=a/2$、最小値は

である。右側の放物線 $F_{+}$ の頂点は $x=-a/2$、最小値は

である。

まず $-2<a<2$ のとき、2つの頂点はそれぞれ担当区間の内側または端点側に位置し、左側は $b<a^2/4-a$ のときに根を持つ。さらに $b<-1$ なら左側に1個、右側に1個、$-1<b<a^2/4-a$ なら左側に2個、右側に0個となる。したがって、この範囲ではまとめて $b<\frac{a^2}{4}-a$ が条件である。 $a=-2$ のときは $a^2/4-a=3$ である。$-1<b<3$ では左側に2個、$b\leqq -1$ では左側と右側に1個ずつ根を持つ。$b=3$ では左側の頂点で接する1個だけになるので、条件は $b<3$ である。 $a<-2$ のとき、左側で2個の根を持つには $\frac{a^2}{4}+a<b<\frac{a^2}{4}-a$ が必要で、このとき右側には根がない。また $b<-1$ では左側に1個、右側に1個の根を持つ。$b=-1$ では $x=1$ が右側の根として数えられるため個数が変わり、ちょうど2個にはならない。よって $b<-1\text{または}\frac{a^2}{4}+a<b<\frac{a^2}{4}-a$ である。 $a\geqq 2$ のとき、左側は単調に下がりながら $x=1$ に近づき、右側は $x=1$ から単調に上がる。したがって $b<-1$ のときだけ左側に1個、右側に1個の根を持つ。$b=-1$ では右側の端点 $x=1$ の1個だけなので除く。

以上より、異なる実数解がちょうど2個となる条件は

である。