問題
(1) のとき，の逆関数を求めよ．
(2) (1)の，に対し，次の等式が成り立つことを示せ．
出典：東北大学 1998年度 前期日程 第2次学力試験 理系 前期 第1問
方針
(1) は を について解き，値域 を逆関数の定義域にする。(2) は逆関数の積分公式そのものだが，ここでは両辺の差を の関数と見て微分し，導関数が0であることと で0になることから示す。
解答
(1)
より であるから である。したがって逆関数は である。
(2)
とおく。であるから である。したがっては定数である。のときであるから、すべてのについて が成り立つ。
(2) の微分による証明では，上端が の積分を微分する点が重要である。すなわち である。これは が の逆関数であるため となるからである。したがって差の導関数は0になり， で両辺がともに0になることから等式が従う。
別解。逆関数のグラフは に関して対称である。 のグラフ下の面積と，逆関数 のグラフ下の面積を合わせると，長方形の面積 になる，という面積分割としても同じ等式を説明できる。