東北大学 1998年度理系数学前期第3問解答・解説

問題

ある1面だけに印のついた立方体が水平な平面に置かれている．平面に接する面(底面)の4辺のうち1辺を選んでこの辺を軸にしてこの立方体を横に倒す，という操作を行う．ただし，どの辺が選ばれるかは同様に確からしいとし，印のついた面が最初は上面にあるとする．この操作を $n$ 回続けて行ったとき，印のついた面が立方体の側面にくる確率を $a_{n}$ ，底面にくる確率を $b_{n}$ とおく．

(1) $a_{2}$ を求めよ．

(2) $a_{n + 1}$ と $a_{n}$ の関係式を導け．

(3) $b_{n}$ を $n$ の式で表し， $n \to \infty lim b_{n}$ を求めよ．

出典：東北大学 1998年度前期日程第2次学力試験理系前期第3問

方針

印のついた面が上面・側面・底面のどれにあるかだけを状態として見る。上面または底面にあるときは次の操作で必ず側面に移り，側面にあるときは4本の辺のうち2本を選ぶと上面または底面に移り，残り2本では側面のままである。この遷移から $a_{n + 1} = 1 - a_{n} /2$ を作り， $b_{n}$ は直前に側面にある確率から求める。

解答

(1)

1回倒すと印は必ず側面にくる。2回目に、印の面を底面または上面にする辺は2本、側面のままにする辺は2本である。よって $a_{2} = \frac{1}{2}$ である。

(2)

印が側面にあるとき、次に側面でなくなる確率は $1/2$ である。印が上面または底面にあるとき、次は必ず側面にくる。したがって $a_{n + 1} = \frac{1}{2} a_{n} + (1 - a_{n}) = 1 - \frac{1}{2} a_{n}$ である。

(3)

$a_{1} = 1$ であるから、(2)より $a_{n} = \frac{2}{3} + \frac{1}{3} (- \frac{1}{2})^{n - 1}$ である。 $n ≧ 2$ では、底面にくるには直前に側面にあり、かつその面を下に倒す1本を選ぶ必要があるので $b_{n} = \frac{1}{4} a_{n - 1} = \frac{1}{6} + \frac{1}{12} (- \frac{1}{2})^{n - 2}$ である。したがって $lim_{n \to \infty} b_{n} = \frac{1}{6}$ である。

(3) ではまず漸化式 $a_{n + 1} - \frac{2}{3} = - \frac{1}{2} (a_{n} - \frac{2}{3})$ と変形する。 $a_{1} = 1$ なので $a_{n} = \frac{2}{3} + \frac{1}{3} (- \frac{1}{2})^{n - 1}$ である。

底面に来るには，直前に印の面が側面にあり，その側面を下にする1本の辺を選ぶ必要がある。側面にあるとき，4本の候補のうち底面に移すものは1本なので $b_{n} = \frac{1}{4} a_{n - 1} (n ≧ 2)$ である。したがって $b_{n} = \frac{1}{6} + \frac{1}{12} (- \frac{1}{2})^{n - 2} (n ≧ 2)$ で， $b_{1} = 0$ である。よって極限は $1/6$ となる。

東北大学 1998年度理系数学 前期 第3問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

東北大学 1998年度
理系数学前期第3問