東北大学 1998年度理系数学前期第2問解答・解説

問題

2次正方行列 $X = (s u t v)$ に対し， $s + v$ を $X$ のトレースという． $A = (a - b b c)$ と $A^{2}$ のトレースがともに $- 1$ であるとする．

(1) $A^{3} = E$ を示せ．ただし， $E$ は単位行列である．

(2) 連立1次方程式 $(A + E)^{4} (x y) = (b - a)$ を解け．

出典：東北大学 1998年度前期日程第2次学力試験理系前期第2問

方針

まずトレース条件から $det A = 1$ を求める。2次行列では $(tr A)^{2} = tr (A^{2}) + 2 det A$ が成り立つので，これで行列式が分かる。さらに2次行列の成分計算で $A^{2} + A + E = 0$ を得る。(2) はこの関係から $(A + E)^{2} = A$ ， $(A + E)^{4} = A^{2}$ と簡約する。

解答

(1)

$A$ のトレースが $- 1$ で、 $A^{2}$ のトレースも $- 1$ である。2次行列を成分で計算すると $(トレース A)^{2} = トレース A^{2} + 2 det A$ であるから $1 = - 1 + 2 det A$ より $det A = 1$ である。したがって成分計算により $A^{2} + A + E = 0$ となる。これに $A - E$ を掛けると $A^{3} = E$ である。

(2)

$A^{2} + A + E = 0$ より $(A + E)^{2} = A$ である。したがって $(A + E)^{4} = A^{2}$ である。方程式は

A^{2} (x y) = (b - a)

であり、両辺に $A$ を掛けると

(x y) = A (b - a) = (0 - b^{2} - a c) = (0 - 1) .

よって $(x, y) = (0, - 1)$ である。 $A^{2} + A + E = 0$ を得た後の流れを補足する。この式から $(A + E)^{2} = A^{2} + 2 A + E = A$ である。したがって $(A + E)^{4} = A^{2}$ となる。方程式は $A^{2} (y x) = (- a b)$ である。さらに $A^{3} = E$ なので両辺に左から $A$ を掛ければ $(y x) = A (- a b)$ である。成分計算により $A (- a b) = (- b ^{2} - a c ab - ab) = (- ( a c + b ^{2} ) 0) .$ ここで $det A = a c + b^{2} = 1$ だから $(y x) = (- 1 0)$ となる。

東北大学 1998年度理系数学 前期 第2問

問題

方針

解答

(1)

(2)

東北大学 1998年度
理系数学前期第2問