東北大学 1998年度
理系数学 前期 第4問

解答

(1)

比 $\sin x/\sin y$, $\cos x/\cos y$ が定義されているので、$\sin y\ne 0$, $\cos y\ne 0$ である。与式から $\sin x=a\sin y,\cos x=b\cos y$ であり、${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$ に代入すると $a^2{\sin }^{2}y+b^2{\cos }^{2}y=1$ となる。ここで ${\tan }^{2}y=T$ とおくと、${\sin }^{2}y=T/(1+T)$, ${\cos }^{2}y=1/(1+T)$ であるから $\frac{a^{2}T+b^2}{1+T}=1$ である。したがって $(a^2-1)T=1-b^2$ より ${\tan }^{2}y=\frac{1-b^2}{a^2-1}$ を得る。

(2)

問題の条件より $a$, $b$ は $0$, $\pm 1$ でないから、上の右辺は0ではない。実数 $y$ が存在するには ${\tan }^{2}y>0$ が必要十分である。よって $\frac{1-b^2}{a^2-1}>0$ であり、分子と分母の符号が同じになればよい。したがって

である。すなわち求める範囲は $|a|>1,|b|<1\text{または}|a|<1,|b|>1$ である。

この条件が十分であることも確認しておく。右辺が正なら、その値を $T$ として ${\tan }^{2}y=T$ を満たす $y$ を取れる。このとき $a^2{\sin }^{2}y+b^2{\cos }^{2}y=1$ なので、$(a\sin y,b\cos y)$ は単位円上の点であり、これを $(\sin x,\cos x)$ とする実数 $x$ が存在する。

別解。式 $a^2{\sin }^{2}y+b^2{\cos }^{2}y=1$ は、$1$ が $a^2$ と $b^2$ の重みつき平均になっていることを表す。しかも $\sin y$, $\cos y$ はどちらも0でないから、重み ${\sin }^{2}y$, ${\cos }^{2}y$ はともに正で、その和は1である。したがって $1$ は $a^2$ と $b^2$ の間に厳密に入る。つまり $(a^2-1)(b^2-1)<0$ であり、これは上と同じく $|a|>1,|b|<1\text{または}|a|<1,|b|>1$ を与える。