東北大学 1997年度
理系数学 前期 第6問
- 試験区分
- 前期日程 第2次学力試験
- 対象
- 理系
- 分野
- 関数、微分、積分
- 解法
- 増減表、微分による最大最小、面積計算
- 難易度
- 6 / 10 計算量 5 / 10 目安 22分
問題
関数f(x)=x31−x2 (∣x∣≦1)を考える．
(1) f(x)の最大値と最小値を求め，y=f(x)のグラフの概形をかけ．
(2) y=f(x)のグラフとx軸で囲まれた図形の面積Sを求めよ．
出典：東北大学 1997年度 前期日程 第2次学力試験 理系 前期 第6問
方針
f(x)=x31−x2は奇関数なので、増減と面積は0≦x≦1を中心に調べる。微分して臨界点x=23を求め、奇関数性から最小値を得る。面積は正の部分を2倍し、u=1−x2で置換積分する。
解答
(1)
f(−x)=−f(x)であるから、fは奇関数である。−1<x<1で微分すると f′(x)=3x21−x2+x3⋅1−x2−x であり、整理して f′(x)=1−x2x2(3−4x2) となる。 0<x<1では分母とx2は正であるから、符号は3−4x2で決まる。よって
である。したがって最大値は
f(23)=(23)31−43=1633
である。奇関数より最小値は −1633 で、x=−23のときに達する。グラフはx=−1,0,1でx軸と交わり、原点に関して対称である。
(2)
面積は正の部分を2倍して S=2∫01x31−x2dx である。u=1−x2とおくと、du=−2xdx, x2=1−uであるから ∫01x31−x2dx=21∫01(1−u)u1/2du となる。よって 21(32−52)=152 である。したがって S=2⋅152=154 である。
