問題
を定数とし，2次曲線のを満たす部分をとする．4点，，，を頂点とする正方形の面積をが2等分するとき，の値を求めよ．
出典：東北大学 1997年度 前期日程 第2次学力試験 理系 前期 第4問
方針
放物線のうちの部分なので、正方形内では右枝をと表す。水平な帯で見ると、曲線の右側の幅はである。これをからまで積分し、面積が正方形の半分の8になる条件を解く。最後に得られたで曲線が正方形内を横切ることを確認する。
解答
曲線は であり、の部分を考えるので と表せる。
正方形は, である。高さで見たとき、曲線の右側の横幅は である。曲線が正方形の面積16を2等分するので、この右側の面積を8とおくと である。
計算すると であり、
である。したがって となる。これを解くと である。
このとき下辺での座標は であり、上辺での座標は である。いずれも0と4の間にあるので、上の面積式は正方形内の配置に合っている。