東北大学 1997年度理系数学前期第1問解答・解説

問題

空間の2定点 $O (0, 0, 0)$ ， $A (- 1, 1, 1)$ に対し，点 $P (x, y, z)$ は次の2条件(i)，(ii)を満たしながら動くとする．

(i) 点 $P$ は，方程式 $y = 2 x$ で与えられる平面上にある．

(ii) ベクトル $O A$ とベクトル $A P$ は垂直である．

このとき，ベクトル $A P$ の長さの最小値と，その最小値を与える $P$ の座標 $(x, y, z)$ を求めよ．

出典：東北大学 1997年度前期日程第2次学力試験理系前期第1問

方針

条件(i)から $y = 2 x$ とおく。条件(ii)は内積 $O A \cdot A P = 0$ で表し、 $z$ を $x$ で表す。すると $P$ は1つの変数で表されるので、 $A P^{2}$ を $x$ の2次式として平方完成し、長さの最小値とそのときの座標を求める。

解答

$P = (x, y, z)$ とする。条件(i)より $y = 2 x$ である。また $O A = (- 1, 1, 1), A P = (x + 1, y - 1, z - 1)$ である。条件(ii)より $- (x + 1) + (y - 1) + (z - 1) = 0$ だから $- x + y + z - 3 = 0$ である。ここに $y = 2 x$ を代入すると $z = 3 - x$ を得る。

したがって $P = (x, 2 x, 3 - x)$ と表される。このとき $A P^{2} = (x + 1)^{2} + (2 x - 1)^{2} + (2 - x)^{2}$ である。展開して平方完成すると $A P^{2} = 6 x^{2} - 6 x + 6 = 6 (x - \frac{1}{2})^{2} + \frac{9}{2}$ である。

よって $A P^{2}$ は $x = \frac{1}{2}$ のとき最小となり、その最小値は $\frac{9}{2}$ である。したがって $A P$ の最小値は $\frac{3}{2}$ で、そのとき $P = (\frac{1}{2}, 1, \frac{5}{2})$ である。

東北大学 1997年度理系数学 前期 第1問

問題

方針

解答

東北大学 1997年度
理系数学前期第1問