東北大学 1997年度理系数学前期第3問解答・解説

問題

(1) $lo g x$ を $x$ の自然対数とする．このとき，関数 $f (x) = \frac{lo g x}{x}$ $(x > 0)$ の極値，および $y = f (x)$ のグラフと $x$ 軸との交点を求め， $y = f (x)$ のグラフの概形をかけ．

(2) $a$ を正の数とする．不等式 $a^{x} ≧ x^{a}$ が， $x ≧ a$ である任意の $x$ に対して成り立つような， $a$ の範囲を求めよ．

出典：東北大学 1997年度前期日程第2次学力試験理系前期第3問

方針

(1)は $f^{'} (x)$ の符号を調べ、 $x = e$ で極大になること、 $x = 1$ で $x$ 軸と交わること、端の挙動を押さえて概形を描く。(2)は正の数について対数を取り、 $a^{x} ≧ x^{a}$ を $f (a) ≧ f (x)$ に変形する。あとは $[a, \infty)$ で $f$ の最大点が左端 $a$ になる条件を読む。

解答

(1)

$f (x) = \frac{l o g x}{x}$ を微分すると $f^{'} (x) = \frac{1 - l o g x}{x ^{2}}$ である。 $x^{2} > 0$ より、符号は $1 - lo g x$ で決まる。したがって $0 < x < e で増加, x > e で減少$ である。よって $x = e$ で極大値 $f (e) = \frac{1}{e}$ をとる。

また、 $x$ 軸との交点は $f (x) = 0$ すなわち $lo g x = 0$ より $x = 1$ である。さらに $x \to + 0$ で $f (x) \to - \infty$ 、 $x \to \infty$ で $f (x) \to 0$ である。したがって、グラフは $x = 1$ で $x$ 軸を横切り、 $x = e$ で極大値 $1/ e$ をとった後、正のまま $x$ 軸に近づく。

(2)

$a > 0$ , $x > 0$ なので、対数をとると $a^{x} ≧ x^{a}$ は $x lo g a ≧ a lo g x$ と同値である。 $a x > 0$ で割ると $\frac{l o g a}{a} ≧ \frac{l o g x}{x}$ すなわち $f (a) ≧ f (x)$ となる。

これが任意の $x ≧ a$ で成り立つには、 $[a, \infty)$ において $f$ が左端 $x = a$ で最大になればよい。(1)より $f$ は $e$ まで増加し、その後減少する。したがって $a ≧ e$ なら条件を満たす。

一方、 $a < e$ なら $x = e$ は $x ≧ a$ を満たし、しかも $f (e) > f (a)$ であるから条件を満たさない。よって求める範囲は $a ≧ e$ である。

東北大学 1997年度理系数学 前期 第3問

問題

方針

解答

(1)

(2)

東北大学 1997年度
理系数学前期第3問