東北大学 1997年度理系数学前期第5問解答・解説

問題

$x y$ 平面上の2つの曲線

y = x^{2} + 1, y = \frac{( x + 1 ) ( x - a )}{2}

が共有点をもたないとき，実数 $a$ の存在する範囲を求めよ．

出典：東北大学 1997年度前期日程第2次学力試験理系前期第5問

方針

共有点がある条件を調べ、その補集合を求める。絶対値の中身 $(x + 1) (x - a)$ の符号に応じて、 $x^{2} + 1 = \pm \frac{( x + 1 ) ( x - a )}{2}$ の2つの2次方程式に分ける。各方程式が実数解をもつ条件を判別式で求めれば、その等式自体から符号条件も自動的に満たされるので、最後に共有点をもつ $a$ の範囲をまとめて除く。

解答

共有点がある条件を調べる。共有点の $x$ 座標は $x^{2} + 1 = \frac{( x + 1 ) ( x - a )}{2}$ を満たす。

まず $(x + 1) (x - a) ≧ 0$ の場合、 $x^{2} + 1 = \frac{( x + 1 ) ( x - a )}{2}$ である。整理すると $2 x^{2} + 2 = x^{2} + (1 - a) x - a$ より $x^{2} + (a - 1) x + a + 2 = 0$ を得る。この方程式の解では $(x + 1) (x - a) = 2 (x^{2} + 1) > 0$ となるので、符号条件も満たされる。判別式は $Δ_{1} = (a - 1)^{2} - 4 (a + 2) = a^{2} - 6 a - 7 = (a + 1) (a - 7)$ である。したがってこの場合に共有点をもつのは $a ≦ - 1 または a ≧ 7$ である。

次に $(x + 1) (x - a) < 0$ の場合、 $x^{2} + 1 = - \frac{( x + 1 ) ( x - a )}{2}$ である。整理すると $2 x^{2} + 2 = - x^{2} - (1 - a) x + a$ より $3 x^{2} + (1 - a) x + 2 - a = 0$ を得る。この方程式の解では $(x + 1) (x - a) = - 2 (x^{2} + 1) < 0$ となるので、やはり符号条件も満たされる。判別式は $Δ_{2} = (1 - a)^{2} - 12 (2 - a) = a^{2} + 10 a - 23$ である。よって $a^{2} + 10 a - 23 ≧ 0$ を解いて $a ≦ - 5 - 43 または a ≧ - 5 + 43$ となる。

以上を合わせると、共有点をもつ $a$ の範囲は $a ≦ - 1 または a ≧ - 5 + 43$ である。したがって共有点をもたない範囲は $- 1 < a < - 5 + 43$ である。

東北大学 1997年度理系数学 前期 第5問

問題

方針

解答

東北大学 1997年度
理系数学前期第5問