問題
関数 を考える．
(1) この関数の最小値と，グラフと座標軸との交点を求め，のグラフの概形をかけ．
(2) この関数のグラフと，直線，および軸で囲まれた図形を，軸の周りに1回転してできる立体の体積を求めよ．
出典：東北大学 1997年度 後期日程 第2次学力試験 後期・理系 後期 第6問
方針
(1)は定義域を確認し、導関数で増減と最小値を求める。軸との交点は平方根を含む方程式を解くが、平方する前にが必要であることに注意する。(2)では囲まれる部分がで軸の下側にあるので、回転体の体積をで求める。
解答
(1)
定義域はである。微分すると である。より だから である。では、ではなので、この点で最小値をとる。値は である。 軸との交点はより である。軸との交点は よりである。右辺は0以上なのでであり、平方して すなわち である。よりなので、交点は である。端点ではを通り、グラフはそこで始まり、いったん減少してから増加し、で軸に達する。
(2)
囲まれる部分はにあり、この範囲でグラフは軸の下側にある。回転体の体積は である。展開すると であるから である。
まず である。次に、とおくと であり、
である。
したがって
である。よって である。