問題
曲線 上の相異なる3点を，， とする．このとき
(1) 三角形の面積を，，で表せ．
(2) ，，を上の条件の下で動かすとき，の最大値を求めよ．
出典：東北大学 1997年度 後期日程 第2次学力試験 後期・理系 後期 第5問
方針
(1)は3点の座標を面積公式に代入し、放物線上の点であることから因数分解する。(2)では, とおくと、, , であり、面積がになる。を固定してを最大化し、最後にを使う。
解答
(1)
座標の面積公式より
である。この行列式は に等しい。より各差は正なので である。
(2)
とおく。すると, であり、 である。またより である。
(1)の結果から である。を固定すると、 であり、等号はのときである。したがって である。さらになので である。
等号はかつのときに成り立つ。これは で実現できる。したがって最大値は である。
別解。を先に固定すると、面積は である。固定されたに対してが最大になるのはがとの中点のときである。よってであり、さらにから同じ最大値を得る。