東北大学 1997年度
後期・理系数学 後期 第4問

解答

(1)

$n=1$では $3^1=3>1=1^2$ で成り立つ。また$n=2$では $3^2=9>4=2^2$ で成り立つ。 $n\geqq 2$として、$3^n>n^2$が成り立つと仮定する。このとき $3^{n+1}=3\cdot 3^n>3n^2$ である。一方、$3n^2-(n+1{)}^2=2n^2-2n-1$ であり、$n\geqq 2$では正である。したがって $3n^2>(n+1{)}^2$ なので $3^{n+1}>(n+1{)}^2$ が成り立つ。よって数学的帰納法により、すべての自然数$n$で$3^n>n^2$である。

(2)

定義より $\frac{2}{3}{S}_n={\sum }_{k=1}^n\frac{2k}{3^{k+1}}$ であり、${\sum }_{k=1}^n\frac{1}{3^k}={\sum }_{k=1}^n\frac{3}{3^{k+1}}$ である。したがって

である。

ここで $\frac{2k-3}{3^{k+1}}=\frac{k-1}{3^k}-\frac{k}{3^{k+1}}$ であるから、和を取ると途中の項が消え、

となる。よって $\frac{2}{3}{S}_n-{\sum }_{k=1}^n\frac{1}{3^k}=-\frac{n}{3^{n+1}}$ である。

(3)

(1)より$3^n>n^2$であるから $0<\frac{n}{3^{n+1}}<\frac{n}{3n^2}=\frac{1}{3n}$ であり、$\frac{n}{3^{n+1}}\to 0$ である。また

である。(2)で$n\to \infty$とすると $\frac{2}{3}{\lim }_{n\to \infty }{S}_n-\frac{1}{2}=0$ である。したがって ${\lim }_{n\to \infty }{S}_n=\frac{3}{4}$ である。

別解。(2)から有限和を直接求めると

である。これを整理して $S_n=\frac{3}{4}-\frac{2n+3}{4\cdot 3^n}$ となる。$\frac{2n+3}{3^n}\to 0$より、同じく極限値は$\frac{3}{4}$である。