問題
次の等式を満たす連続な関数について考える．
(1) はの2次式であることを示せ．
(2) を求めよ．
出典：東北大学 1997年度 後期日程 第2次学力試験 後期・理系 後期 第2問
方針
両辺をで微分すると、右辺はについて高々2次式になる。したがっても高々2次式である。そこでとおき、, , を使って微分後の等式の係数を比較する。最後に元の等式の定数分も確認する。
解答
(1)
与えられた等式の両辺をで微分する。左辺は である。右辺は
である。したがって を得る。
右辺は であり、について高々2次式である。よっても高々2次式であり、はの2次式である。
(2)
とおく。さらに
とおく。奇関数の積分が0になることを用いると
である。
微分後の等式は である。係数を比較して を得る。これに上のを代入すると である。したがって である。 とを合わせると であり、これを解いて を得る。よって である。
最後に、微分で定数分を失っていないことを確認する。を元の等式に代入すると左辺は0である。右辺は
である。ここで
なので右辺も0である。したがって元の等式も満たしている。