問題
，，の3室に3人ずつの人がいるとする．翌日の朝くじ引きにより，室からは1人を室へ，室からは1人を室へ，1人を室へ，室からは1人を室へ，いっせいに移動させることにする．
% 図は省略
この移動を毎朝繰り返した場合，最初の日に室にいた3人が，3日後の移動（3回目の移動）の結果1人も室にいなくなる確率を求めよ．
出典：東北大学 1997年度 後期日程 第2次学力試験 後期・理系 後期 第3問
方針
最初にA室にいた3人だけを印付きとして追跡する。各移動後の印付き人数をで表すと、1回目の移動後は必ずになる。2回目後の可能な状態と確率を表にし、そこから3回目でA室の印付き人数が0になる確率を掛けて合計する。
解答
最初の日にA室にいた3人を印付きの人として追跡する。各移動後の印付き人数を で表す。
1回目の移動では、A室から1人がB室へ移る。最初はA室の3人全員が印付きなので、1回目の移動後は必ず になる。
次に2回目の移動後を考える。状態から、A室の印付きがB室へ移る確率は、移らない確率はである。また、B室にいる1人の印付きは、A室へ移る、C室へ移る、B室に残る、の3通りが同じ確率で起こる。C室には印付きがいない。
したがって2回目後の状態と確率は
である。
3回目の移動後にA室の印付き人数が0になるには、2回目後にA室の印付き人数が1でなければならない。したがって関係する状態は だけである。
状態からA室の印付きが0になるには、A室の1人の印付きがB室へ選ばれ、同時にB室からA室へ移る人が印付きでない必要がある。この確率は である。
状態からA室の印付きが0になるには、A室の1人の印付きがB室へ選ばれ、同時にB室からA室へ移る人が印付きでない必要がある。B室には印付きが2人、印付きでない人が1人いるので、この確率は である。
よって求める確率は
である。