東北大学 1997年度
後期・理系数学 後期 第1問

解答

直線$l$は点$A(1,1,0)$と点$B(-1,-2,1)$を通る。方向ベクトルは $\overrightarrow{AB}=(-2,-3,1)$ であるから、$l$上の点$P$は実数$t$を用いて $P=(1,1,0)+t(-2,-3,1)=(1-2t,1-3t,t)$ と表せる。

点$(x,y,z)$から$x$軸までの距離は$\sqrt{y^2+z^2}$である。したがって距離の2乗は $(1-3t{)}^2+t^2$ である。平方完成すると $(1-3t{)}^2+t^2=10{\left(t-\frac{3}{10}\right)}^2+\frac{1}{10}$ である。よって距離の2乗の最小値は$\frac{1}{10}$であり、求める最小距離は $d=\frac{1}{\sqrt{10}}$ である。なお、このとき$t=\frac{3}{10}$であり、対応する点は $P=\left(\frac{2}{5},\frac{1}{10},\frac{3}{10}\right)$ である。

別解。$x$軸までの距離は$y,z$成分だけで決まるので、直線$l$を$yz$平面に射影してもよい。射影された直線は $(1,0)+t(-3,1)$ であり、原点からこの直線までの距離を求める問題になる。その距離の2乗は同じく$(1-3t{)}^2+t^2$であるから、$d=\frac{1}{\sqrt{10}}$を得る。