問題
点を中心とする半径3の球があり，その表面は鏡でできているものとする．いま，方向ベクトルをもつ光が原点から発射されたとする．この光は球面のどの点で反射し，平面とどの点で交わるか．ただし，球面での光の反射はその点での法線と入射光線を含む平面内で起こり，入射角と反射角は等しいとする．
出典：東北大学 1996年度 前期日程 第2次学力試験 理系 前期 第6問
方針
光線を とおき、球との交点を2つ求めて、原点に近い方を反射点にする。反射では、入射方向ベクトルを接点における法線方向とそれに垂直な成分に分け、法線方向成分だけ符号を反転させる。最後に反射後の直線を媒介変数表示し、 として 平面との交点を求める。
解答
原点から方向ベクトル に進む光線は と表せる。球の中心を とすると、球との交点は を満たす。すなわち である。整理すると であり、 となる。よって である。最初に球面に当たるのは の点なので、反射点は である。
反射点における法線方向は である。これを とおき、入射方向を とおくと である。反射後の方向 は、法線方向成分を反転させたものだから
である。
したがって反射後の光線は である。 平面との交点では だから である。よって交点は
である。