問題
平面の点を中心とする半径1の円をとし，第1象限にあって軸とに接する円を考える．次に，軸，，で囲まれた部分にあって，軸とこれら2円に接する円をとする．以下同様に， を軸，，で囲まれた部分にあって，これらに接する円とする．
(i) の中心の座標をとするとき，の半径をを用いて表せ．
(ii) の半径をとを用いて表せ．
出典：東北大学 1996年度 前期日程 第2次学力試験 理系 前期 第3問
方針
円 の中心を とおく。 軸に接するので中心の高さが半径であり、固定円 との接触条件から が出る。隣り合う2円 の接触条件をこの形に代入すると、 が1ずつ増える漸化式になる。
解答
(i)
は 軸に接し、中心の 座標が であるから、中心は である。固定円 の中心は 、半径は である。 は と外側で接するので、中心間距離は である。したがって である。これを整理すると だから である。
(ii)
一般に、 の中心を とおく。 は 軸に接し、また固定円 に接するので、(i) と同じ計算により である。第1象限側の円を考えているから である。
次に、 は と接する。中心間距離が半径の和に等しいので である。右辺から左辺の高さ方向の差を移項すると となる。図の位置関係より だから、 ここに を代入すると である。両辺を で割って を得る。
(i)より であるから である。したがって となる。よって である。