東北大学 1996年度理系数学前期第1問解答・解説

問題

3次関数 $f (x) = x^{3} - p x$ は $x = a$ において極大値 $b$ をとるとする．点 $P (a, b)$ を原点を中心に正の向きに $90^{\circ}$ 回転した点を $Q$ とする．曲線 $y = f (x)$ が点 $Q$ を通るような $p$ の値を求めよ．

出典：東北大学 1996年度前期日程第2次学力試験理系前期第1問

方針

極大点をもつために $p > 0$ が必要であり、極大点は $f^{'} (x) = 0$ の負の方である。そこで $u = p /3$ とおいて極大点 $P = (- u, 2 p u /3)$ を表し、90度回転した点 $Q = (- b, a)$ を曲線 $y = x^{3} - p x$ に代入する。最後は $p^{2}$ についての2次方程式にして正の解だけを採用する。

解答

極大値をもつためには $p > 0$ が必要である。そこで $u = \frac{p}{3}$ とおく。導関数は $f^{'} (x) = 3 x^{2} - p$ であり、臨界点は $x = \pm u$ である。 $f^{''} (x) = 6 x$ より、極大点は負の方だから $a = - u$ である。このとき

b = f (a) = (- u)^{3} - p (- u) = - u^{3} + p u = u (p - u^{2}) = \frac{2 p u}{3}

である。

点 $P (a, b)$ を原点中心に正の向きに90度回転すると $Q = (- b, a)$ である。これが曲線 $y = x^{3} - p x$ 上にあるので、 $a = (- b)^{3} - p (- b)$ すなわち $- u = - b^{3} + p b$ が成り立つ。ここで $b = 2 p u /3$ を代入すると $- u = - (\frac{2 p u}{3})^{3} + p \cdot \frac{2 p u}{3} .$ $u > 0$ で割り、さらに $u^{2} = p /3$ を用いると

- 1 = - \frac{8 p ^{3} u ^{2}}{27} + \frac{2 p ^{2}}{3} = - \frac{8 p ^{4}}{81} + \frac{2 p ^{2}}{3} .

したがって $8 p^{4} - 54 p^{2} - 81 = 0$ である。 $X = p^{2}$ とおくと $8 X^{2} - 54 X - 81 = 0$ であり、 $X = \frac{54 + 18 17}{16} = \frac{9 ( 3 + 17 )}{8}$ を得る。 $p > 0$ だから $p = 3 \frac{3 + 17}{8}$ である。

東北大学 1996年度理系数学 前期 第1問

問題

方針

解答

東北大学 1996年度
理系数学前期第1問