東北大学 1996年度
理系数学 前期 第2問

解答

(i)

$A-tE$ の逆行列が存在しない条件は $\det (A-tE)=0$ である。行列 $A$ の各行の成分の和は ${\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta =1,{\cos }^{2}2\theta +{\sin }^{2}2\theta =1$ であるから、$t=1$ のとき $A-E$ の各行の和は $0$ となり、逆行列をもたない。

また $\det (A-tE)$ は $t$ についての2次式で、$t^2$ の係数は $1$ である。2つの解の積は $\det A$ だから、もう一つの解を $t_2$ とすると $1\cdot t_2=\det A$ である。したがって

よって求める $t$ は $t=1,t={\cos }^2\theta -{\cos }^{2}2\theta$ である。

(ii)

$t=1$ は常に正である。したがって、もう一つの値が正である条件を調べればよい。

である。$0<\theta <\pi /2$ では $\cos \theta >0$ であり、$\cos \theta -\cos 2\theta >0$ が成り立つ。よって必要十分条件は $\cos \theta +\cos 2\theta >0$ である。 $c=\cos \theta$ とおくと、$0<c<1$ であり、$\cos 2\theta =2c^2-1$ だから $\cos \theta +\cos 2\theta =2c^2+c-1=(2c-1)(c+1).$ $c+1>0$ なので、条件は $2c-1>0$ すなわち $\cos \theta >\frac{1}{2}$ である。したがって $0<\theta <\frac{\pi }{3}$ である。