東北大学 1996年度理系数学前期第5問解答・解説

問題

直線 $l$ は曲線 $C_{1} : y = e^{x}$ ， $C_{2} : y = e^{a x}$ $(a > 1)$ の両方に接するとする．

(i) $l$ と $C_{1}$ との接点 $P$ の $x$ 座標を $s$ とし， $l$ と $C_{2}$ との接点 $Q$ の $x$ 座標を $t$ とする．このとき， $s$ ， $t$ を $a$ を用いて表せ．

(ii) $a = 2$ のとき $l$ と $C_{1}$ ， $C_{2}$ で囲まれた図形の面積を求めよ．

出典：東北大学 1996年度前期日程第2次学力試験理系前期第5問

方針

共通接線を、 $C_{1}$ の接点 $x = s$ における接線と、 $C_{2}$ の接点 $x = t$ における接線としてそれぞれ書く。傾きと切片を比較して $s, t$ を求める。 $a = 2$ では2曲線が $x = 0$ で交わるので、閉じた領域を $[t, 0]$ と $[0, s]$ に分け、上側の曲線から共通接線を引いて積分する。

解答

(i)

$C_{1} : y = e^{x}$ の $x = s$ における接線は $y = e^{s} (x - s) + e^{s} = e^{s} x + e^{s} (1 - s)$ である。また $C_{2} : y = e^{a x}$ の $x = t$ における接線は $y = a e^{a t} (x - t) + e^{a t} = a e^{a t} x + e^{a t} (1 - a t)$ である。これらが同じ直線であるから、傾きと切片を比較して $e^{s} = a e^{a t}, e^{s} (1 - s) = e^{a t} (1 - a t)$ を得る。

第1式より $e^{s} / e^{a t} = a$ なので $s - a t = lo g a$ である。また第2式を第1式で割ると $1 - s = \frac{1 - a t}{a}$ となり、 $s - t = 1 - \frac{1}{a}$ を得る。これらを連立して解くと $s = 1 - \frac{l o g a}{a - 1}, t = \frac{1}{a} - \frac{l o g a}{a - 1}$ である。

(ii)

$a = 2$ のとき $s = 1 - lo g 2, t = \frac{1}{2} - lo g 2$ である。共通接線は、傾きが $e^{s} = e /2$ であり、切片が $e^{s} (1 - s) = (e /2) lo g 2$ だから $y = \frac{e}{2} (x + lo g 2)$ である。

2曲線 $y = e^{x}$ と $y = e^{2 x}$ は $x = 0$ で交わる。したがって、囲まれた図形の面積 $S$ は

S = \int_{t}^{0} {e^{2 x} - \frac{e}{2} (x + lo g 2)} d x + \int_{0}^{s} {e^{x} - \frac{e}{2} (x + lo g 2)} d x

である。ここで $t = \frac{1}{2} - lo g 2, s = 1 - lo g 2$ を代入して計算すると、

S = [\frac{1}{2} e^{2 x} - \frac{e}{4} x^{2} - \frac{e}{2} (lo g 2) x]_{t}^{0} + [e^{x} - \frac{e}{4} x^{2} - \frac{e}{2} (lo g 2) x]_{0}^{s} = \frac{3 e}{16} - \frac{1}{2} .

よって求める面積は $\frac{3 e}{16} - \frac{1}{2}$ である。

東北大学 1996年度理系数学 前期 第5問

問題

方針

解答

(i)

(ii)

東北大学 1996年度
理系数学前期第5問