問題
2つのさいころを同時に振るという試行を独立に3回行う．1回目に出た目を，，2回目に出た目を，，3回目に出た目を，とする．
(i) となる確率を求めよ．
(ii) となる確率を求めよ．
出典：東北大学 1996年度 前期日程 第2次学力試験 理系 前期 第4問
方針
(i)は積が0になる条件を「少なくとも1回は2個のさいころが同じ目」と読み、余事象で数える。(ii)は1回の試行で出る和の分布を先に作り、3回の和の積が になる組だけを列挙する。順序つきの3回の試行なので、並べ替えの数も掛ける。
解答
(i)
1回の試行で となるのは、2つのさいころの目が等しいときである。その場合は の6通りで、全体36通りのうち6通りだから、確率は である。
求める条件 は、3回のうち少なくとも1回で となることである。余事象は3回とも であり、その確率は である。よって求める確率は である。
(ii)
1回の試行で和 が取り得る値は から までである。積が100になるために必要な和の組は より、順序を除けば だけである。
2個のさいころの和が となる場合の数は、それぞれ である。したがって、和の組が の並べ替えになる場合の数は である。また、和の組が の並べ替えになる場合の数は である。よって有利な場合の数は である。
3回の試行全体の場合の数は 通りだから、求める確率は である。