東北大学 1995年度理系数学前期第6問解答・解説

問題

$0 < u < \frac{π}{4}$ ， $0 < θ < \frac{π}{2}$ とする．

(1) $\frac{1}{tan u} - \frac{1}{tan 2 u}$ を簡単にせよ．

(2) 無限級数 $n = 1 \sum \infty \frac{1}{2 ^{n}} tan \frac{θ}{2 ^{n}}$ の和を求めよ．ただし， $x \to 0 lim \frac{tan x}{x} = 1$ を用いてよい．

出典：東北大学 1995年度前期日程第2次学力試験理系前期第6問

方針

(1) で $cot u - cot 2 u$ を計算し，続いて $tan u = cot u - 2 cot 2 u$ という差の形を作る。(2) では $u = θ / 2^{n}$ を代入して $2^{- n} tan (θ / 2^{n})$ を隣り合う2項の差にし，部分和を望遠和としてから極限 $x cot x \to 1$ を用いる。

解答

(1) $\frac{1}{t a n u} - \frac{1}{t a n 2 u} = cot u - cot 2 u$ である。これを正弦・余弦で計算すると

cot u - cot 2 u = \frac{cos u}{sin u} - \frac{cos 2 u}{sin 2 u} = \frac{cos u sin 2 u - sin u cos 2 u}{sin u sin 2 u}

である。分子は $cos u sin 2 u - sin u cos 2 u = sin (2 u - u) = sin u$ なので $\frac{1}{tan u} - \frac{1}{tan 2 u} = \frac{1}{sin 2 u}$ である。

(2) まず $cot u - 2 cot 2 u = tan u$ を確認する。実際， $cot 2 u = \frac{c o t ^{2} u - 1}{2 c o t u}$ であるから

cot u - 2 cot 2 u = cot u - \frac{cot ^{2} u - 1}{cot u} = \frac{1}{cot u} = tan u

である。

ここで $u = θ / 2^{n}$ とすると

tan \frac{θ}{2 ^{n}} = cot \frac{θ}{2 ^{n}} - 2 cot \frac{θ}{2 ^{n - 1}}

である。両辺に $2^{- n}$ を掛けて

\frac{1}{2 ^{n}} tan \frac{θ}{2 ^{n}} = \frac{1}{2 ^{n}} cot \frac{θ}{2 ^{n}} - \frac{1}{2 ^{n - 1}} cot \frac{θ}{2 ^{n - 1}}

となる。

したがって第 $N$ 項までの部分和は望遠和となり，

n = 1 \sum N \frac{1}{2 ^{n}} tan \frac{θ}{2 ^{n}} = \frac{1}{2 ^{N}} cot \frac{θ}{2 ^{N}} - cot θ

である。 $x = θ / 2^{N}$ とおくと

\frac{1}{2 ^{N}} cot \frac{θ}{2 ^{N}} = \frac{x}{θ} cot x = \frac{1}{θ} \cdot \frac{x}{tan x}

である。問題文の極限 $tan x / x \to 1$ より $x / tan x \to 1$ だから $lim_{N \to \infty} \frac{1}{2 ^{N}} cot \frac{θ}{2 ^{N}} = \frac{1}{θ}$ である。よって求める和は $\frac{1}{θ} - cot θ$ である。

東北大学 1995年度理系数学 前期 第6問

問題

方針

解答

東北大学 1995年度
理系数学前期第6問