東北大学 1995年度
理系数学 前期 第2問

解答

(1) $u=e^x$ とおくと $u>0$ であり，$f(x)=e^x(e^x-3{)}^2=u(u-3{)}^2$ である。$u$ で微分すると $\frac{d}{du}\{u(u-3{)}^2\}=(u-3{)}^2+2u(u-3)=(u-3)(3u-3)=3(u-1)(u-3)$ である。また $du/dx=e^x=u>0$ だから $f^{\prime }(x)=3u(u-1)(u-3)$ である。

したがって，$0<u<1$ で $f^{\prime }(x)>0$，$1<u<3$ で $f^{\prime }(x)<0$，$3<u$ で $f^{\prime }(x)>0$ となる。すなわち $u=1,u=3$ に対応する $x=0,x=\log 3$ で極値をとる。値は $f(0)=1\cdot (1-3{)}^2=4,f(\log 3)=3(3-3{)}^2=0$ である。よって $\boxed{\text{極大値 }4(x=0),\text{極小値 }0(x=\log 3)}$ である。

(2) (1) より $b=4$ である。直線 $y=4$ と曲線の交点は $u(u-3{)}^2=4$ で決まる。左辺を移項して $u^3-6u^2+9u-4=0$ であり，これは $(u-1{)}^2(u-4)=0$ と因数分解できる。$u=1$ は極大点で接している点，$u=4$ はもう一方の交点である。したがって囲まれる部分は $x=0$ から $x=\log 4$ までで，その面積は ${\int }_0^{\log 4}\{4-f(x)\}dx$ である。 $u=e^x$ とすると $dx=du/u$ であり，積分範囲は $u=1$ から $u=4$ になる。よって面積は ${\int }_1^4\left\{\frac{4}{u}-(u-3{)}^2\right\}du$ である。ここで ${\int }_1^4(u-3{)}^{2}du={\int }_1^4(u^2-6u+9)du=3$ だから，求める面積は $\boxed{4\log 4-3}$ である。