東北大学 1995年度理系数学前期第3問解答・解説

問題

1から20までの番号札がそれぞれ1枚ずつある．これらの20枚の番号札から同時に2枚無作為に取り出し，大きい番号を $m$ とし，小さい番号を $n$ とする．実数 $a$ に対して $[a]$ は $a$ を超えない最大の整数を表すものとして，以下の問に答えよ．

(1) $[lo g_{10} \frac{m}{n}] = 1$ となる $m$ ， $n$ の組をすべて求めよ．

(2) $lo g_{10} \frac{m}{n} < [lo g_{10} \frac{m}{n}] + lo g_{10} 2$ となる確率を求めよ．

出典：東北大学 1995年度前期日程第2次学力試験理系前期第3問

方針

床関数の条件を $m / n$ の範囲に戻して数える。 $1 < m / n ≦ 20$ なので $[lo g_{10} (m / n)]$ は0または1だけである。(2) ではそれぞれの場合に $m / n < 2$ ， $10 ≦ m / n < 20$ という範囲へ直し，端点 $m / n = 20$ が除かれることに注意して組数を数える。

解答

(1) $[lo g_{10} \frac{m}{n}] = 1$ であることは $1 ≦ lo g_{10} \frac{m}{n} < 2$ と同値であり，したがって $10 ≦ \frac{m}{n} < 100$ である。いま $1 ≦ n < m ≦ 20$ なので，実際には $10 n ≦ m ≦ 20$ を満たす組を探せばよい。 $n = 1$ のときは $m = 10, 11, \dots, 20$ が可能である。 $n = 2$ のときは $m = 20$ のみが可能である。 $n ≧ 3$ では $10 n > 20$ となり不可能である。よって求める組は $(n, m) = (1, 10), (1, 11), \dots, (1, 20), (2, 20)$ である。

(2) $1 < m / n ≦ 20$ であるから， $[lo g_{10} (m / n)]$ は0または1である。

まず $0 ≦ lo g_{10} \frac{m}{n} < 1$ すなわち $1 < m / n < 10$ の場合を考える。このとき条件は $lo g_{10} \frac{m}{n} < lo g_{10} 2$ であるから $1 < \frac{m}{n} < 2$ となる。この組数を数える。 $m < 2 n$ ， $m > n$ ， $m ≦ 20$ であるから， $1 ≦ n ≦ 10$ では $n - 1$ 通り， $11 ≦ n ≦ 20$ では $20 - n$ 通りである。したがって $\sum_{n = 1}^{10} (n - 1) + \sum_{n = 11}^{20} (20 - n) = 45 + 45 = 90$ 通りである。

次に $1 ≦ lo g_{10} \frac{m}{n} < 2$ の場合，つまり $10 ≦ m / n < 100$ の場合を考える。このとき条件は $lo g_{10} \frac{m}{n} < 1 + lo g_{10} 2 = lo g_{10} 20$ であるから $10 ≦ \frac{m}{n} < 20$ となる。 $n = 1$ では $m = 10, 11, \dots, 19$ の10通り， $n = 2$ では $m = 20$ の1通りであり，合計11通りである。 $(1, 20)$ は $m / n = 20$ なので，ここでは除かれる。

よって条件を満たす組は $90 + 11 = 101$ 通りである。全体の取り出し方は $_{20} C_{2} = 190$ 通りで等確率だから，求める確率は $\frac{101}{190}$ である。

東北大学 1995年度理系数学 前期 第3問

問題

方針

解答

東北大学 1995年度
理系数学前期第3問