東北大学 1995年度理系数学前期第1問解答・解説

問題

$A = (a c b d)$ とする． $A^{2}$ が角 $θ$ $(0 < θ < π)$ の回転を表す行列であれば， $A$ も回転を表す行列であることを証明せよ．

出典：東北大学 1995年度前期日程第2次学力試験理系前期第1問

方針

$A^{2}$ を角 $θ$ の回転行列 $R$ とおくと， $A A^{2} = A^{2} A$ から $A R = R A$ が成り立つ。 $0 < θ < π$ なので $sin θ \neq = 0$ であり，成分比較で $A$ の形を $(u - v v u)$ に絞る。最後に $A^{2}$ の行列式が1であることから $u^{2} + v^{2} = 1$ を示し，回転行列の形に直す。

解答

角 $θ$ の回転行列を

R = (cos θ sin θ - sin θ cos θ)

とおく。仮定より $A^{2} = R$ である。行列の積の結合法則から $A R = A A^{2} = A^{3} = A^{2} A = R A$ が成り立つ。 $A = (a c b d)$ ， $C = cos θ$ ， $S = sin θ$ と書く。 $0 < θ < π$ より $S \neq = 0$ である。 $A R = R A$ を成分で書くと

(a C + b S c C + d S - a S + b C - c S + d C) = (C a - S c S a + C c C b - S d S b + C d)

である。左上成分を比べると $a C + b S = a C - c S$ より $b = - c$ を得る。また右上成分を比べると $- a S + b C = b C - d S$ より $a = d$ を得る。したがって

A = (u - v v u)

と書ける。

次に行列式を見る。 $A^{2} = R$ であり，回転行列の行列式は1だから $(det A)^{2} = det (A^{2}) = det R = 1$ である。一方，上の形から $det A = u^{2} + v^{2} ≧ 0$ なので $u^{2} + v^{2} = 1$ である。よって，ある角 $ϕ$ を用いて $u = cos ϕ, v = sin ϕ$ と表せる。したがって

A = (cos ϕ - sin ϕ sin ϕ cos ϕ)

となる。これは角 $- ϕ$ の回転を表す行列である。ゆえに $A$ も回転を表す行列である。

東北大学 1995年度理系数学 前期 第1問

問題

方針

解答

東北大学 1995年度
理系数学前期第1問