東北大学 1995年度理系数学前期第4問解答・解説

問題

平面 $z = x - y$ 上の4点 $A (0, 0, 0)$ ， $B (1, 1, 0)$ ， $C (2, 1, 1)$ ， $D (1, 0, 1)$ を頂点とする四角形（内部を含む）を $x$ 軸のまわりに回転させてできた立体を $K$ とする。

(1) 平面 $x = t$ $(0 ≦ t ≦ 2)$ による $K$ の切り口の面積 $S (t)$ を求めよ．

(2) $K$ の体積を求めよ．

出典：東北大学 1995年度前期日程第2次学力試験理系前期第4問

方針

四角形を $(x, y, z) = (α + β, α, β)$ $(0 ≦ α, β ≦ 1)$ とパラメータ表示する。平面 $x = t$ で切ると $y + z = t$ 上の線分になり， $0 ≦ t ≦ 1$ と $1 ≦ t ≦ 2$ で端点が変わる。回転後の切り口は，その線分上の $y^{2} + z^{2}$ の最大値と最小値からできる円環である。

解答

四角形 $A B C D$ は

A + α A B + β A D (0 ≦ α ≦ 1, 0 ≦ β ≦ 1)

で表せる。ここで $A B = (1, 1, 0), A D = (1, 0, 1)$ なので，四角形上の点は $(x, y, z) = (α + β, α, β)$ と書ける。したがって平面 $x = t$ による切り口は $α + β = t, 0 ≦ α, β ≦ 1$ を満たす線分である。

(1) まず $0 ≦ t ≦ 1$ のとき， $α$ は $0 ≦ α ≦ t$ を動き， $β = t - α$ である。すなわち $y z$ 平面では $y + z = t, 0 ≦ y, z$ 上の線分になる。 $x$ 軸のまわりに回転させると，半径の2乗は $r^{2} = y^{2} + z^{2} = y^{2} + (t - y)^{2}$ である。この値は $y = t /2$ で最小となり $r_{m i n}^{2} = \frac{t ^{2}}{2}$ 端点 $y = 0, t$ で最大となり $r_{m a x}^{2} = t^{2}$ である。したがって切り口の面積は円環の面積として $S (t) = π (r_{m a x}^{2} - r_{m i n}^{2}) = \frac{π t ^{2}}{2}$ である。

次に $1 ≦ t ≦ 2$ のとき， $α$ は $t - 1 ≦ α ≦ 1$ を動く。つまり $y + z = t, t - 1 ≦ y ≦ 1$ である。このときも $r^{2} = y^{2} + (t - y)^{2}$ であり，最小値は $y = t /2$ で $r_{m i n}^{2} = \frac{t ^{2}}{2}$ である。また最大値は端点でとり， $r_{m a x}^{2} = 1^{2} + (t - 1)^{2}$ である。したがって

S (t) = π {1 + (t - 1)^{2} - \frac{t ^{2}}{2}} (1 ≦ t ≦ 2)

となる。

(2) 体積は切り口の面積を $t$ で積分して

V = \int_{0}^{1} \frac{π t ^{2}}{2} d t + \int_{1}^{2} π {1 + (t - 1)^{2} - \frac{t ^{2}}{2}} d t

である。第1項は $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{π}{6}$ であり，第2項は

π \int_{1}^{2} (2 - 2 t + \frac{t ^{2}}{2}) d t = π [2 t - t^{2} + \frac{t ^{3}}{6}]_{1}^{2} = \frac{π}{6}

である。よって $V = \frac{π}{3}$ である。

東北大学 1995年度理系数学 前期 第4問

問題

方針

解答

東北大学 1995年度
理系数学前期第4問