東北大学 1995年度理系数学前期第5問解答・解説

問題

$n$ を0または正の整数とし，

I_{n} = \int_{- π}^{π} x^{n} cos x d x, J_{n} = \int_{- π}^{π} x^{n} sin x d x

とする．

(1) $n ≧ 1$ のとき， $I_{n}$ と $J_{n - 1}$ の関係式，および $J_{n}$ と $I_{n - 1}$ の関係式を求めよ．

(2) $n = 0, 1, 2, 3, 4$ に対して $I_{n}$ の値を求めよ．

(3) $n = 0, 1, 2$ に対し， $\int_{- π}^{π} x^{n} f (x) cos x d x = 4 π$ を同時に満たす $x$ の2次式 $f (x)$ を求めよ．

出典：東北大学 1995年度前期日程第2次学力試験理系前期第5問

方針

(1) は部分積分で $I_{n}$ と $J_{n - 1}$ ， $J_{n}$ と $I_{n - 1}$ を結ぶ。端点 $\pm π$ での $sin x$ ， $cos x$ の値が符号を決める。(2) では得た漸化式を順に使い，奇偶性も確認する。(3) は $f (x) = A x^{2} + B x + C$ とおき， $I_{0}$ から $I_{4}$ までを代入して係数を決める。

解答

(1) $n ≧ 1$ とする。まず $I_{n} = \int_{- π}^{π} x^{n} cos x d x$ で部分積分を行う。 $u = x^{n}$ ， $d v = cos x d x$ とすると

I_{n} = [x^{n} sin x]_{- π}^{π} - n \int_{- π}^{π} x^{n - 1} sin x d x

である。端点で $sin π = sin (- π) = 0$ だから $I_{n} = - n J_{n - 1}$ である。

次に $J_{n} = \int_{- π}^{π} x^{n} sin x d x$ で部分積分を行う。 $u = x^{n}$ ， $d v = sin x d x$ とすると

J_{n} = [- x^{n} cos x]_{- π}^{π} + n \int_{- π}^{π} x^{n - 1} cos x d x

である。境界項は

[- x^{n} cos x]_{- π}^{π} = π^{n} - (- π)^{n} = {1 - (- 1)^{n}} π^{n}

なので $J_{n} = {1 - (- 1)^{n}} π^{n} + n I_{n - 1}$ である。

(2) 順に求める。まず $I_{0} = \int_{- π}^{π} cos x d x = 0$ である。また $I_{1} = - J_{0}$ で， $J_{0} = \int_{- π}^{π} sin x d x = 0$ より $I_{1} = 0$ である。次に $J_{1} = {1 - (- 1)} π + I_{0} = 2 π$ だから $I_{2} = - 2 J_{1} = - 4 π$ である。さらに $J_{2} = {1 - 1} π^{2} + 2 I_{1} = 0$ より $I_{3} = - 3 J_{2} = 0$ である。最後に $J_{3} = {1 - (- 1)^{3}} π^{3} + 3 I_{2} = 2 π^{3} - 12 π$ だから $I_{4} = - 4 J_{3} = - 8 π^{3} + 48 π$ である。したがって

I_{0} = 0, I_{1} = 0, I_{2} = - 4 π, I_{3} = 0, I_{4} = - 8 π^{3} + 48 π

である。

(3) $f (x) = A x^{2} + B x + C$ とおく。条件 $\int_{- π}^{π} x^{n} f (x) cos x d x = 4 π (n = 0, 1, 2)$ を $I_{k}$ で書くと $A I_{2} + B I_{1} + C I_{0} = 4 π,$ $A I_{3} + B I_{2} + C I_{1} = 4 π,$ $A I_{4} + B I_{3} + C I_{2} = 4 π$ である。(2) の値を代入すると，1本目から $- 4 π A = 4 π$ より $A = - 1$ である。2本目から $- 4 π B = 4 π$ より $B = - 1$ である。3本目から $(- 1) (- 8 π^{3} + 48 π) + C (- 4 π) = 4 π$ だから $8 π^{3} - 48 π - 4 π C = 4 π$ であり， $C = 2 π^{2} - 13$ を得る。よって $f (x) = - x^{2} - x + 2 π^{2} - 13$ である。

東北大学 1995年度理系数学 前期 第5問

問題

方針

解答

東北大学 1995年度
理系数学前期第5問