問題
方程式のにおける解をとする．
(1) 2つの不等式，が成り立つことを示せ．
(2) 2つの曲線，で囲まれる図形で，に対応する部分の面積を，に対応する部分の面積をとするとき，であることを示せ．
出典：東北大学 1993年度 前期日程 第2次学力試験 理系 前期 第6問
方針
まず を で調べ、端点値と単調性から解 の位置を押さえる。 は2乗して に直す。面積では2曲線の差を と因数分解し、 と で上下関係が逆になることを確認する。積分後、(1)の不等式で を示す。
解答
(1)
とおく。区間 では 、 であるから である。したがって はこの区間で増加する。
また である。よって方程式 の解 は を満たす。
次に を示す。両辺は正なので、これは2乗して すなわち と同値である。したがって を示せばよい。上で得た と より とは言えないので、ここでは標準的な評価 を用いると である。よって となり、求める不等式が成り立つ。
(2)
2曲線の差を調べると
である。 では であり、また なので である。したがって である。
一方、 では であり、 だから である。よって である。
ここで とおくと である。したがって である。
また で、 だから である。よって である。これを に代入すると となる。したがって である。
よって である。(1)より だから である。さらに であり、 の範囲では右辺は減少するので
より実際には正である。したがって であり、 が示された。