東北大学 1993年度理系数学前期第4問解答・解説

問題

$r$ ， $n$ を自然数， $k$ を $0 ≦ k ≦ n$ を満たす整数とする．集合 $T = {i ∣ i は整数, 1 ≦ i ≦ r + n}$ から $r + k$ 個の数を取り出すとき，その中に集合 $S = {i ∣ i は整数, 1 ≦ i ≦ r}$ の元がすべて含まれる確率を $a_{n}$ とおく．

(1) $a_{n}$ を $r$ ， $n$ ， $k$ の式として表せ．

(2) $r ≧ 2$ のとき， $n = 1 \sum \infty a_{n}$ を求めよ．

出典：東北大学 1993年度前期日程第2次学力試験理系前期第4問

方針

$T$ は $S$ の $r$ 個と、それ以外の $n$ 個に分かれる。 $S$ の元をすべて含むには、残りの $n$ 個からちょうど $k$ 個を選べばよいので、まず組合せで $a_{n}$ を出す。無限和では、 $n! / (n + r)!$ を隣り合う2項の差に分解して望ましい形の望遠和にする。 $k = 0$ だけは和が $n = 1$ から始まる点が違うため別に扱う。

解答

(1)

集合 $T$ は、集合 $S$ の $r$ 個の元と、それ以外の $n$ 個の元からなる。 $T$ から $r + k$ 個を選ぶ方法は全部で $_{r + n} C_{r + k}$ 通りである。

その中に $S$ の元がすべて含まれるためには、まず $S$ の $r$ 個はすべて選ばれ、残り $k$ 個を $T ∖ S$ の $n$ 個から選べばよい。したがって条件を満たす選び方は $_{n} C_{k}$ 通りである。よって $a_{n} = \frac{_{n} C _{k}}{_{r + n} C _{r + k}}$ である。階乗で書けば

a_{n} = \frac{\frac{n !}{k ! ( n - k )!}}{\frac{( r + n )!}{( r + k )! ( n - k )!}} = \frac{n ! ( r + k )!}{k ! ( r + n )!}

である。

(2)

$r ≧ 2$ とする。まず

\frac{n !}{( n + r )!} = \frac{1}{r - 1} {\frac{n !}{( n + r - 1 )!} - \frac{( n + 1 )!}{( n + r )!}}

が成り立つ。実際、右辺の中括弧は

\frac{n !}{( n + r - 1 )!} - \frac{( n + 1 )!}{( n + r )!} = \frac{n ! ( n + r ) - n ! ( n + 1 )}{( n + r )!} = \frac{( r - 1 ) n !}{( n + r )!}

である。

まず $k ≧ 1$ の場合を考える。 $n < k$ では $_{n} C_{k} = 0$ と見ればよいので、和は $n = k$ から始まる。したがって

n = 1 \sum \infty a_{n} = \frac{( r + k )!}{k !} n = k \sum \infty \frac{n !}{( n + r )!} = \frac{( r + k )!}{k !} \cdot \frac{1}{r - 1} n = k \sum \infty {\frac{n !}{( n + r - 1 )!} - \frac{( n + 1 )!}{( n + r )!}}

である。これは望遠和になり、後ろの端は0に近づくので

n = 1 \sum \infty a_{n} = \frac{( r + k )!}{k !} \cdot \frac{1}{r - 1} \cdot \frac{k !}{( k + r - 1 )!} = \frac{r + k}{r - 1}

である。

次に $k = 0$ の場合は $a_{n} = \frac{r ! n !}{( r + n )!}$ であり、問題の和は $n = 1$ から始まる。よって

n = 1 \sum \infty a_{n} = r! n = 1 \sum \infty \frac{n !}{( n + r )!} = r! \cdot \frac{1}{r - 1} \cdot \frac{1 !}{r !} = \frac{1}{r - 1}

である。

したがって

n = 1 \sum \infty a_{n} = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{1}{r - 1} \frac{r + k}{r - 1} (k = 0), (k ≧ 1)

である。

東北大学 1993年度理系数学 前期 第4問

問題

方針

解答

(1)

(2)

東北大学 1993年度
理系数学前期第4問