問題
曲線を考える．ただし，対数は自然対数とする．上の点から軸に下ろした垂線，におけるの法線，および軸で囲まれる三角形の面積をとする．の座標が負でないとき，の最大値を求めよ．
出典：東北大学 1993年度 前期日程 第2次学力試験 理系 前期 第2問
方針
点 の 座標を と置き、接線の傾きから法線の傾きを出す。法線が 軸と交わる点を求めると、三角形の高さは 、底辺はそれを で割った長さになる。そこで と置き、 を微分して最大を調べる。
解答
点 の 座標を とする。条件より であり、 である。ここで とおくと、 より である。
曲線 の接線の傾きは であるから、点 における接線の傾きは である。したがって法線の傾きは である。法線の方程式は である。
この法線と 軸との交点を とする。 を代入すると だから である。よって、垂線の足は であり、三角形の底辺の長さは 高さは である。したがって面積は である。
ここで とおくと、 であり、 である。 とおくと である。実際、 を用いて微分すればよい。 では である。したがって で は増加し、 で減少する。最大は のとき、すなわち より のときである。このとき である。