東北大学 1993年度
理系数学 前期 第3問

解答

(1)

$t=\tan \theta$ とおく。条件より $0\leqq t\leqq 1$ である。直線 $l$ は $y=tx$、辺 $AB$ は $x+y=1$ であるから、交点 $C$ は $x=\frac{1}{1+t},y=\frac{t}{1+t}$ である。したがって

である。

また $t=\tan \theta$ なので $\sin \theta +\cos \theta =\frac{t+1}{\sqrt{1+t^2}}$ であり、$OC=\frac{1}{\sin \theta +\cos \theta }$ とも書ける。$0\leqq \theta \leqq \pi /4$ では $\sin \theta +\cos \theta$ は $1$ から $\sqrt{2}$ まで増加する。よって

である。

(2)

軸 $l$ 方向の座標を $u$、それに垂直な符号付き距離を $v$ とする。すなわち $u=x\cos \theta +y\sin \theta ,v=-x\sin \theta +y\cos \theta$ とおく。$q=\sqrt{1+t^2}$ とすると $\cos \theta =\frac{1}{q},\sin \theta =\frac{t}{q}$ である。

辺 $OA$ 上では $v=-tu$、辺 $OB$ 上では $v=u/t$ である。また辺 $AB$ 上では $v=\frac{q-u(1+t)}{1-t}$ である。ただし $0<t<1$ として計算し、端点 $t=0,1$ は最後に連続性で扱う。

軸と辺 $AB$ の交点は $u_C=\frac{q}{1+t}$ であり、上側の半径と下側の半径が入れ替わる点は $u_0=\frac{q}{1+2t-t^2}$ である。したがって断面積を積分すると

である。第1項から第3項は断面が円になる部分、第4項は断面が輪になる部分である。

これを整理すると $V=\frac{\pi \sqrt{1+t^2}(-4t^3+t^2+4t+1)}{3(t+1)(t^2-2t-1{)}^2}$ である。したがって $V(0)=\frac{\pi }{3},V(1)=\frac{\pi \sqrt{2}}{12}$ であり、上の式は端点でもこの値に連続的につながる。

(3)

(2)の式を $t$ で微分すると

である。$0\leqq t\leqq 1$ では $t^2-2t-1<0$ である。また分子は $t^2(4-6t+9t^2)+(23t^5+6t^6+4t^7)+7t+1$ と見れば正である。ここで $4-6t+9t^2>0$ である。したがって $\frac{dV}{dt}<0(0<t<1)$ であり、$V$ は単調に減少する。

よって最大値は $t=0$、すなわち $\theta =0$ のとき $V_{\max }=\frac{\pi }{3}$ であり、最小値は $t=1$、すなわち $\theta =\frac{\pi }{4}$ のとき $V_{\min }=\frac{\pi \sqrt{2}}{12}$ である。