東北大学 1993年度理系数学前期第1問解答・解説

問題

行列 $A = (10 a 1)$ $(a \neq = 0)$ ， $E = (1001)$ ， $N = A^{n} - E$ （ $n$ は自然数）について，次の問に答えよ．

(1) $N^{2}$ ， $(E + N) (E - N)$ を求めよ．

(2) $E - N$ が逆行列をもつことを示し， $(E - N)^{- 1}$ を求めよ．

(3) 等式 $X^{2} = N$ を満たす行列 $X = (x z y w)$ は存在しないことを証明せよ．

出典：東北大学 1993年度前期日程第2次学力試験理系前期第1問

方針

まず $A^{n}$ を帰納法または上三角行列の形から求め、 $N$ が右上成分だけをもつ行列であることを確認する。このとき $N^{2} = O$ なので、 $(E + N) (E - N) = E$ がすぐ従い、逆行列も決まる。最後は $X^{2} = N$ を成分比較し、右上成分が $na \neq = 0$ であることから $x + w \neq = 0$ を引き出して矛盾させる。

解答

(1)

まず

A = (10 a 1)

であるから、自然数 $n$ について

A^{n} = (10 na 1)

である。これは $n = 1$ では明らかで、 $n$ から $n + 1$ への積でも右上成分が $na + a = (n + 1) a$ となるため、帰納法で示せる。

したがって

N = A^{n} - E = (00 na 0)

である。よって

N^{2} = (0000)

である。また $(E + N) (E - N) = E - N^{2} = E$ である。

(2)

(1)より $(E + N) (E - N) = E$ である。さらに行列の積の順序を逆にしても $(E - N) (E + N) = E - N^{2} = E$ である。したがって $E - N$ は逆行列をもち、

(E - N)^{- 1} = E + N = (10 na 1)

である。

(3)

仮に

X = (x z y w)

が $X^{2} = N$ を満たすとする。成分を計算すると

X^{2} = (x^{2} + y z z (x + w) y (x + w) z y + w^{2})

である。これが

N = (00 na 0)

に等しいので $x^{2} + y z = 0, y (x + w) = na,$ $z (x + w) = 0, z y + w^{2} = 0$ が成り立つ。

ここで $a \neq = 0$ かつ $n$ は自然数だから $na \neq = 0$ である。したがって $y (x + w) = na \neq = 0$ より $x + w \neq = 0$ である。すると $z (x + w) = 0$ から $z = 0$ である。

これを $x^{2} + y z = 0$ 、 $z y + w^{2} = 0$ に代入すると $x^{2} = 0, w^{2} = 0$ であるから $x = 0, w = 0$ となる。すると $x + w = 0$ となり、先ほど得た $x + w \neq = 0$ に矛盾する。

よって $X^{2} = N$ を満たす行列 $X$ は存在しない。

東北大学 1993年度理系数学 前期 第1問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

東北大学 1993年度
理系数学前期第1問