東北大学 1993年度理系数学前期第5問解答・解説

問題

原点 $(0, 0)$ を $O$ とし，行列 $A = (a c b d)$ によって表される1次変換を $f$ とする．3点 $P_{1} (1, 0)$ ， $P_{2} (\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ ， $P_{3} (0, 1)$ の $f$ による像をそれぞれ $P_{1}^{'}$ ， $P_{2}^{'}$ ， $P_{3}^{'}$ とおく．
$O P_{1}^{'} \cdot O P_{1} = 1$ ， $O P_{2}^{'} \cdot O P_{2} = 3$ ， $O P_{3}^{'} \cdot O P_{3} = 3$ であるとき，次の問に答えよ．ただし， $O P_{i}^{'} \cdot O P_{i}$ $(i = 1, 2, 3)$ は $O P_{i}^{'}$ と $O P_{i}$ の内積を表す．

(1) $a$ ， $b$ ， $c$ を求めよ．

(2) 点 $P (cos t, sin t)$ の $f$ による像を $P^{'}$ とする． $t$ が $0 ≦ t ≦ π$ の範囲で変化するとき， $O P^{'}$ と $O P$ の内積 $O P^{'} \cdot O P$ の最大値と最小値，およびそれらの値を与える $t$ の値を求めよ．

出典：東北大学 1993年度前期日程第2次学力試験理系前期第5問

方針

各条件は、移った点と元の単位方向ベクトルの内積を計算すればよい。 $P_{1}$ から $a = 1$ 、 $P_{3}$ から $d = 3$ 、 $P_{2}$ から $b + c = 2$ が決まる。 $b$ と $c$ は個別には決まらないが、(2)で必要なのは和 $b + c$ だけである。 $P = (cos t, sin t)$ について内積を三角関数で整理し、 $2 + 2 sin (2 t - π /4)$ の最大最小を読む。

解答

(1)

まず $P_{1} = (1, 0)$ である。 $P_{1}$ が移った点は

(a c)

であるから、条件 $O P_{1}^{'} \cdot O P_{1} = 1$ は $(a, c) \cdot (1, 0) = a = 1$ を意味する。したがって $a = 1$ である。

次に $P_{3} = (0, 1)$ である。 $P_{3}$ が移った点は

(b d)

であるから $(b, d) \cdot (0, 1) = d = 3$ であり、 $d = 3$ である。

さらに $P_{2} = (\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ である。 $P_{2}$ が移った点は $(\frac{a + b}{2}, \frac{c + d}{2})$ なので、内積は $\frac{a + b + c + d}{2}$ である。これが3に等しいから $a + b + c + d = 6$ である。 $a = 1$ 、 $d = 3$ を代入して $b + c = 2$ を得る。

以上より、条件から決まるのは $a = 1, d = 3, b + c = 2$ である。 $b$ と $c$ は個別には定まらないが、次の設問では和 $b + c$ だけが必要である。

(2)

$P = (cos t, sin t)$ とおく。この点が移った点を $P^{'}$ とすると $O P^{'} = (a cos t + b sin t, c cos t + d sin t)$ である。したがって

O P^{'} \cdot O P = (a cos t + b sin t) cos t + (c cos t + d sin t) sin t = a cos^{2} t + (b + c) sin t cos t + d sin^{2} t

である。

(1)で得た $a = 1$ 、 $d = 3$ 、 $b + c = 2$ を代入すると

O P^{'} \cdot O P = cos^{2} t + 2 sin t cos t + 3 sin^{2} t = 2 - cos 2 t + sin 2 t = 2 + 2 sin (2 t - \frac{π}{4})

である。 $0 ≦ t ≦ π$ なので $2 t - π /4$ は $- π /4$ から $7 π /4$ まで動く。この範囲で $sin$ は最大値1、最小値 $- 1$ をとる。

最大値は $2 + 2$ であり、これは $2 t - \frac{π}{4} = \frac{π}{2}$ すなわち $t = \frac{3 π}{8}$ のときである。

最小値は $2 - 2$ であり、これは $2 t - \frac{π}{4} = \frac{3 π}{2}$ すなわち $t = \frac{7 π}{8}$ のときである。

東北大学 1993年度理系数学 前期 第5問

問題

方針

解答

(1)

(2)

東北大学 1993年度
理系数学前期第5問