東北大学 1991年度理系数学前期第6問解答・解説

問題

$a$ を実数とし，点 $(1, - 1)$ を点 $(2, - 2)$ に，点 $(1, 1)$ を点 $(2 a - 2, 22 - 2 a)$ に移す1次変換を $f$ とする．さらに，直線 $l : x + y = 1$ 上の点 $P_{n}$ $(n = 1, 2, 3, \dots\dots)$ を次のように帰納的に定める．

(i) 点 $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ を $P_{1}$ とする．

(ii) $P_{n}$ を $f$ で移した点を $P_{n}^{'}$ とし，原点 $O$ と $P_{n}^{'}$ を通る直線が $l$ と交わる点を $P_{n + 1}$ とする．

このとき

(1) $∣ P_{n} P_{n + 1} ∣$ を $a$ と $n$ で表せ．

(2) $∣ P_{1} P_{8} ∣ = \frac{635}{2}$ となるような $a$ の値を求めよ．

出典：東北大学 1991年度前期日程第2次学力試験理系前期第6問

方針

前期文系第4問と同じ構造だが、 $a$ により1次変換が変わる。点 $P_{n} = (u_{n}, 1 - u_{n})$ を、基底 $(1, - 1), (1, 1)$ の組み合わせとして表すと、移った点を直接計算できる。原点と移った点を結ぶ直線が $x + y = 1$ と交わる条件から $u_{n + 1} = 2 u_{n} + 2 a - 2$ を得て、固定点からのずれで解く。

解答

(1)

直線 $l : x + y = 1$ 上の点 $P_{n}$ を $P_{n} = (u_{n}, 1 - u_{n})$ とおく。この点は $(u_{n}, 1 - u_{n}) = (u_{n} - \frac{1}{2}) (1, - 1) + \frac{1}{2} (1, 1)$ と表せる。

1次変換 $f$ は $(1, - 1) \mapsto (2, - 2)$ かつ $(1, 1) \mapsto (2 a - 2, 22 - 2 a)$ である。したがって $P_{n}$ を移した点 $P_{n}^{'}$ は

P_{n}^{'} = (u_{n} - \frac{1}{2}) (2, - 2) + \frac{1}{2} (2 a - 2, 22 - 2 a)

である。整理すると $P_{n}^{'} = (2 u_{n} + a - 2, - 2 u_{n} + \frac{3 2}{2} - a)$ である。この2座標の和は $\frac{2}{2}$ である。

原点と $P_{n}^{'}$ を通る直線上の点は、ある倍率 $λ$ を用いて $λ P_{n}^{'}$ と表される。これが $x + y = 1$ 上にあるためには $λ \cdot \frac{2}{2} = 1$ であるから $λ = 2$ である。したがって $P_{n + 1} = 2 P_{n}^{'}$ であり、特に $u_{n + 1} = 2 u_{n} + 2 a - 2$ を得る。

この漸化式の固定点を $L$ とすると $L = 2 L + 2 a - 2$ だから $L = 2 - 2 a$ である。よって $u_{n + 1} - L = 2 (u_{n} - L)$ である。 $u_{1} = 1/2$ なので

u_{n} - L = 2^{n - 1} (\frac{1}{2} - L) = 2^{n - 1} (2 a - \frac{3}{2})

である。

また $u_{n + 1} - u_{n} = u_{n} - L$ だから

∣ P_{n} P_{n + 1} ∣ = 2 ∣ u_{n + 1} - u_{n} ∣ = 2 2^{n - 1} 2 a - \frac{3}{2}

である。よって

∣ P_{n} P_{n + 1} ∣ = 2 2^{n - 1} 2 a - \frac{3}{2}

である。

(2)

$∣ P_{1} P_{8} ∣ = 2 ∣ u_{8} - u_{1} ∣$ である。上で得た式から $u_{8} - u_{1} = (u_{8} - L) - (u_{1} - L) = (2^{7} - 1) (2 a - \frac{3}{2})$ なので $∣ P_{1} P_{8} ∣ = 1272 2 a - \frac{3}{2}$ である。これが $\frac{635}{2}$ に等しいから $1272 2 a - \frac{3}{2} = \frac{635}{2}$ である。したがって $2 a - \frac{3}{2} = \frac{5}{2}$ である。

よって $2 a - \frac{3}{2} = \frac{5}{2}$ または $2 a - \frac{3}{2} = - \frac{5}{2}$ である。これを解いて $a = 22, a = - \frac{1}{2}$ を得る。

東北大学 1991年度理系数学 前期 第6問

問題

方針

解答

(1)

(2)

東北大学 1991年度
理系数学前期第6問