東北大学 1991年度
理系数学 前期 第3問

解答

(1)

円 $x^2+y^2=1$ の中心は原点である。円に内接する正方形の中心も原点であり、隣り合う頂点は原点のまわりに90度回転して得られる。

点 $(p,q)$ を90度ずつ回転すると $(-q,p),(-p,-q),(q,-p)$ である。したがって残りの頂点は $\boxed{(-q,p),(-p,-q),(q,-p)}$ である。

(2)

(1)の4点が曲線 $y=f(x)$ 上にあるとする。もし $p=0$ または $q=0$ なら、同じ $x$ 座標に異なる2つの $y$ 座標をもつ点が現れるので、関数のグラフにはならない。また $p^2=q^2$ の場合も同様に、同じ $x$ に異なる $y$ が対応する。したがって $pq(p^2-q^2)\ne 0$ である。

4点は原点に関して対称な2組の点であるから、これらを通る3次関数は $f(x)=A{x}^3+Cx$ の形になる。条件 $f(p)=q,f(q)=-p$ より $A{p}^2+C=\frac{q}{p},A{q}^2+C=-\frac{p}{q}$ である。差をとると $A(p^2-q^2)=\frac{q}{p}+\frac{p}{q}=\frac{p^2+q^2}{pq}=\frac{1}{pq}$ であるから $A=\frac{1}{pq(p^2-q^2)}$ である。さらに $C=-\frac{p^4+q^4}{pq(p^2-q^2)}$ となる。よって $f(x)=\frac{x\{x^2-(p^4+q^4)\}}{pq(p^2-q^2)}$ である。

円との共有点を調べるために $x^2+f(x{)}^2=1$ を考える。$z=x^2$ とおくと、整理により $(z^2-z+p^2{q}^2)(z+4p^2{q}^2-1)=0$ となる。第1因子は $z^2-z+p^2{q}^2=(z-p^2)(z-q^2)$ であり、これは正方形の4頂点に対応する。

曲線と円がこの4点のみを共有するためには、もう1つの因子から出る $z=1-4p^2{q}^2$ が新しい正の値を与えてはならない。ここで $p^2+q^2=1$ なので $1-4p^2{q}^2=(p^2-q^2{)}^2$ である。したがって $(p^2-q^2{)}^2=p^2$ または $(p^2-q^2{)}^2=q^2$ でなければならない。 $r=p^2$、$q^2=1-r$ とおくと、この条件から $\{p^2,q^2\}=\left\{\frac{1}{4},\frac{3}{4}\right\}$ を得る。このとき $p^4+q^4=\frac{5}{8},|pq(p^2-q^2)|=\frac{\sqrt{3}}{8}$ である。分母の符号により2通りが生じるので $\boxed{f(x)=\frac{8x^3-5x}{\sqrt{3}}}$ または $\boxed{f(x)=-\frac{8x^3-5x}{\sqrt{3}}}$ である。