東北大学 1991年度理系数学前期第2問解答・解説

問題

$f (t)$ ， $g (t)$ は微分可能な関数とし，行列

A (t) = f (t) (1111) + g (t) (1 - 1 - 1 1)

はすべての実数 $s$ ， $t$ に対して，次の2つの条件を満たすとする．

(i) $A (s + t) = A (s) A (t)$

(ii) $A (t)$ の表す1次変換は双曲線 $C : x^{2} - y^{2} = 1$ 上の任意の点を $C$ 上に移す．

このとき $f (t)$ ， $g (t)$ はどのような関数か．

出典：東北大学 1991年度前期日程第2次学力試験理系前期第2問

方針

座標を $u = x + y$ 、 $v = x - y$ に取り替えると、双曲線 $x^{2} - y^{2} = 1$ は $uv = 1$ と書ける。また与えられた行列は $u$ を $2 f (t) u$ 、 $v$ を $2 g (t) v$ に変える。条件 $A (s + t) = A (s) A (t)$ は2つの倍率の積の法則になり、双曲線を保つ条件は倍率の積が1であることになる。微分可能性から指数関数形を導く。

解答

$u = x + y, v = x - y$ とおく。このとき $x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y) = uv$ である。したがって双曲線 $C : x^{2} - y^{2} = 1$ は $uv = 1$ と表される。

行列 $A (t)$ の働きを $u, v$ で見る。まず

(1111) (x y) = (u u)

であり、また

(1 - 1 - 1 1) (x y) = (v - v)

である。したがって、移った点の新しい $u, v$ を $u^{'}, v^{'}$ とすると $u^{'} = 2 f (t) u, v^{'} = 2 g (t) v$ である。

ここで $F (t) = 2 f (t), G (t) = 2 g (t)$ とおく。条件 $A (s + t) = A (s) A (t)$ は、 $u$ と $v$ の倍率について $F (s + t) = F (s) F (t), G (s + t) = G (s) G (t)$ を意味する。

また、 $A (t)$ が双曲線 $uv = 1$ 上の任意の点を再び $uv = 1$ 上に移すためには $u^{'} v^{'} = uv$ でなければならない。 $uv = 1$ であるから $F (t) G (t) = 1$ である。したがって $F (t), G (t)$ は0にならない。

特に $F (0) = F (0)^{2}$ で、 $F (0) \neq = 0$ だから $F (0) = 1$ である。 $F$ は微分可能なので、等式 $F (s + t) = F (s) F (t)$ を $s$ で微分し、 $s = 0$ とおくと $F^{'} (t) = F^{'} (0) F (t)$ である。 $c = F^{'} (0)$ とおけば $F^{'} (t) = c F (t), F (0) = 1$ であるから $F (t) = e^{c t}$ である。

さらに $F (t) G (t) = 1$ より $G (t) = e^{- c t}$ である。したがって $f (t) = \frac{1}{2} e^{c t}, g (t) = \frac{1}{2} e^{- c t}$ である。ただし $c$ は任意の実数である。

東北大学 1991年度理系数学 前期 第2問

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東北大学 1991年度
理系数学前期第2問