東北大学 1991年度理系数学前期第5問解答・解説

問題

(1) $0 < x < 1$ のとき，次の不等式が成り立つことを証明せよ．

lo g x > 2 (1 - \frac{1}{x})

(2) 曲線 $y = x (lo g x - 1)$ $(x > 0)$ の概形をかけ．

(3) 直線 $x = b$ $(0 < b < 1)$ ， $y = 0$ および曲線 $y = x (lo g x - 1)$ で囲まれる図形を $y$ 軸のまわりに1回転してできる立体の体積を $V (b)$ とする． $b \to 0 lim V (b)$ を求めよ．

出典：東北大学 1991年度前期日程第2次学力試験理系前期第5問

方針

(1)は $u = 1/ x$ と置くと、よく知られた $lo g u < u - 1$ 型の不等式になる。これは微分で単調性を示す。(2)は $y^{'} = lo g x$ と $y^{''} = 1/ x$ から増減と最小値を調べ、 $x \to 0 +$ 、 $x = e$ も確認する。(3)は $y$ 軸回転なので円筒殻で体積を表し、 $b \to 0$ の極限を評価する。

解答

(1)

$u = \frac{1}{x}$ とおく。 $0 < x < 1$ より $u > 1$ である。また $lo g x = lo g \frac{1}{u ^{2}} = - 2 lo g u$ であり、右辺は $2 (1 - \frac{1}{x}) = 2 (1 - u)$ である。したがって示すべき不等式は $- 2 lo g u > 2 (1 - u)$ すなわち $lo g u < u - 1$ である。

ここで $h (u) = u - 1 - lo g u$ とおくと $h^{'} (u) = 1 - \frac{1}{u}$ である。 $u > 1$ では $h^{'} (u) > 0$ であり、また $h (1) = 0$ である。したがって $u > 1$ で $h (u) > 0$ となる。すなわち $lo g u < u - 1$ である。よって $lo g x > 2 (1 - \frac{1}{x})$ が成り立つ。

(2)

$y = x (lo g x - 1)$ とおく。微分すると $y^{'} = lo g x$ であり、さらに $y^{''} = \frac{1}{x} > 0$ である。したがって $0 < x < 1$ では減少し、 $x > 1$ では増加する。 $x = 1$ で最小値 $y = 1 (0 - 1) = - 1$ をとる。

また $y = 0$ となるのは $lo g x - 1 = 0$ より $x = e$ である。さらに $lim_{x \to 0 +} x (lo g x - 1) = 0$ であり、このとき $lo g x - 1 < 0$ なので下側から0に近づく。以上より、曲線は $x \to 0 +$ で原点に下側から近づき、 $(1, - 1)$ で最小となり、 $(e, 0)$ で $x$ 軸と交わった後、増加していく。

(3)

$0 < x < b < 1$ では $y = x (lo g x - 1) < 0$ である。 $y$ 軸のまわりに回転するので、円筒殻を用いると

V (b) = 2 π \int_{0}^{b} x {- x (lo g x - 1)} d x = 2 π \int_{0}^{b} x^{2} (1 - lo g x) d x

である。

積分を計算すると $\int x^{2} (1 - lo g x) d x = x^{3} (\frac{4}{9} - \frac{1}{3} lo g x)$ である。したがって $V (b) = 2 π b^{3} (\frac{4}{9} - \frac{1}{3} lo g b)$ である。ここで $lim_{b \to 0 +} b^{3} ∣ lo g b ∣ = 0$ なので $b \to 0 + lim V (b) = 0$ である。

東北大学 1991年度理系数学 前期 第5問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

東北大学 1991年度
理系数学前期第5問