問題
曲線の原点を通る2つの接線を，とする．と，とによって囲まれる図形の面積を求めよ．
出典：東北大学 1991年度 前期日程 第2次学力試験 理系 前期 第1問
方針
原点を通る接線を とおき、曲線に代入した2次方程式が重解をもつ条件から2本の接線の傾きを求める。接点の 座標を出したら、曲線を について解き、左側では曲線と傾き の直線、右側では曲線と傾き の直線で囲まれる面積を積分する。
解答
原点を通る直線を とおく。これを曲線 に代入すると となる。この直線が接線であるためには、この2次方程式が重解をもてばよい。したがって判別式は0であり である。整理すると だから である。
接点の 座標を求める。重解は である。よって、 のとき であり、 のとき である。
曲線を について解くと である。左側の接点から原点までは直線 と曲線で囲まれ、原点から右側の接点までは直線 と曲線で囲まれる。したがって求める面積 は
である。
ここで である。これを用いて積分すると
である。よって求める面積は である。