問題
を正の整数とする．箱の中に枚のカードが入っていて，これらのカードには1からまでの番号がつけてある．この箱から無作為に1枚のカードを取り出し，その番号をとする．次に，このカードを箱の中に戻し，ふたたび無作為に1枚のカードを取り出して，その番号をとする．このようにして得られた整数の組について，「との積はで割り切れる」という事象をとする．
(1) である整数に対し，「はで割り切れるがでは割り切れない」という事象をとおく．事象が起こる確率を求めよ．
(2) 事象が起こる確率を求めよ．
(3) 事象が起こったときに事象が起こる条件つき確率をとするとき，が成立するようなの値を求めよ．
方針
3で割れる回数に注目する。事象 は、 がちょうど で割れることを表すので、そのような の個数を数える。 が で割り切れるには、 側で足りない の個数を 側が補えばよい。各 について の個数を数え、最後に で和をとる。
解答
(1)
の場合を考える。 が で割り切れるが では割り切れないためには、 から までの中で を数えればよい。これは 個である。
このとき が で割り切れるためには、 が少なくとも で割り切れればよい。 から までの中で の倍数は 個である。したがって
である。
次に の場合、 は で割り切れる。範囲内ではそのような は の1つだけである。このとき は何であっても は で割り切れる。よって である。
したがって
である。
(2)
事象 は互いに重ならず、すべての場合を尽くしている。したがって である。(1)より
である。
(3)
条件つき確率は である。よって である。
これが を満たす条件を求める。左側の不等式から すなわち である。右側の不等式から すなわち である。 は正の整数なので である。